Polynôme caractéristique

En algèbre linéaire, à toute matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la matrice ou sur l'endomorphisme, comme ses valeurs propres, son déterminant et sa trace. Le théorème de Cayley-Hamilton assure que toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique.

Motivation

Étant donné une matrice carrée M d'ordre n, nous voulons trouver un polynôme dont les racines sont précisément les valeurs propres de M.

Si M est une matrice diagonale ou plus généralement une matrice triangulaire, alors les valeurs propres de M sont les coefficients diagonaux λ₁, …, λ_n de M et nous pouvons définir le polynôme caractéristique comme étant

$(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\ldots(X-\lambda_n)\qquad (1)$

Nous remarquons que ce polynôme est le déterminant det(XI_n − M) où I_n est la matrice unité.

Pour une matrice quelconque M, si λ est une valeur propre de M, alors il existe une colonne propre V non nulle tel que MV = λV, soit (λI_n-M)V = 0 (où I_n est la matrice unité.) Puisque V est non nulle, cela implique que la matrice λI_n-M est singulière, et donc a son déterminant nul. Nous venons de démontrer que les valeurs propres de M sont des zéros de la fonction λ ↦ det(λ·I_n − M) ou des racines du polynôme det(XI_n − M).

Définition formelle

Soit M une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif. Le polynôme caractéristique de M, noté p_M(X), est^[1] le polynôme défini par

$p_M(X):=\det(XI_n-M) = \sum_{\sigma\in\Sigma_n} \varepsilon(\sigma) a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)} \qquad (2)$

où det est le déterminant des matrices, I_n désigne la matrice identité d'ordre n, a_{i j} = -m_{i j} quand i≠j et a_{i i} = X - m_{i i}.

La matrice XI-M a des polynômes pour coefficients ; si ce degré d'abstraction déplaît au lecteur, la somme de droite suffit pour la définition.

Remarque

Au lieu de l'expression (2), certains auteurs définissent le polynôme caractéristique comme étant det(M − XI_n). Ceci induit un changement de signe lorsque l'ordre n est impair, puisque l'on a : $\det(M-XI_n) = (\!-\,1)^n ~\det(XI_n-M)$. Nous avons retenu la définition (2), qui présente l'avantage de rendre le polynôme caractéristique unitaire. De cette façon, lorsque le polynôme caractéristique se laisse effectivement décomposer en facteurs du premier degré, ses expressions (1) et (2) coïncident.

Coefficients

Le développement du polynôme caractéristique p_M(X) d'une matrice carrée M d'ordre n est donné par

$\det(XI_n-M)=X^n-f_1(M)X^{n-1}+f_2(M)X^{n-2}-\dots+(-1)^nf_n(M)$

où f_i(M) est une fonction polynomiale^[2] en les coefficients de la matrice M. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique. Autrement dit, pour toute matrice inversible P, f_i(PMP ^{− 1}) = f_i(M). Un développement explicite du déterminant de X-M donne^[3] :

$f_k(M)=\sum_{1\leq h_1<\dots<h_k\leq n}\det \left[M_{h_ih_j}\right]$.

En particulier, le coefficient constant p_M(0) est égal à (-1)ⁿ fois le déterminant de M, et le coefficient de X^n-1 est égal à l'opposé de la trace de M.

La propriété la plus importante des polynômes caractéristiques est que les valeurs propres de M sont exactement les racines du polynôme p_M(X). En notant $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ les racines de P prises avec multiplicité,

$f_k(M)=s_k(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$

où s_k désigne le k-ième polynôme symétrique élémentaire. (Ici, les racines sont prises dans une extension finie L de K lorsque K n'est pas algébriquement clos ; ainsi, M est triangularisable sur L. C'est ce qui permet, pour démontrer la formule ci-dessus, de se ramener au cas décrit dans le paragraphe Motivation.)

Lorsque le corps de base K est de caractéristique nulle (par exemple, K=R ou C), grâce aux identités de Newton, les coefficients f_k (M) s'expriment comme des fonctions polynomiales des valeurs propres :

$\sum_{i=1}^n \lambda_i^j=\operatorname{Tr}(M^j)$.

Toute fonction $M\mapsto f(M)$ polynomiale en les coefficients de la matrice M et invariante par similitude est une fonction polynomiale en les coefficients du polynôme caractéristique. Cette propriété est par exemple utilisée dans la définition et la classification des classes caractéristiques en géométrie différentielle, ce qui dépasse de loin le niveau de cet article.

Exemples

• Pour une matrice M d'ordre 2, le polynôme caractéristique s'exprime simplement comme

$X^2 - \operatorname{tr}(M)X+ \det(M),$

mais peut aussi se calculer directement à partir de la définition.

Déterminons par exemple le polynôme caractéristique p_M(X) de la matrice

$M=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}$

C'est le déterminant de la matrice

$XI_2-M = \begin{pmatrix} X-2&-1\\ 1&X \end{pmatrix}$

On a donc

p_M(X) = (X − 2)(X) − 1( − 1) = X² − 2X + 1 = (X − 1)²

On en déduit que 1 est une valeur propre double de la matrice.

• Pour une matrice A d'ordre 3, le polynôme caractéristique s'exprime comme

$X^3 - \operatorname{tr}(A)X^2 + Z(A)X - \det(A)$

où

$\begin{align}Z(A)&= -\frac{1}{2}\Bigl(\operatorname{tr}(A^2) - \bigl(\operatorname{tr}(A)\bigr)^2\Bigr)\\&= (a_{1,1} a_{2,2} + a_{1,1} a_{3,3} + a_{2,2} a_{3,3} ) - ( a_{2,1} a_{1,2} + a_{3,1} a_{1,3} + a_{3,2} a_{2,3})\\&= \operatorname{tr} (\operatorname{com} (A))\end{align}$,

avec a_i,j l'élément en position (i, j) dans la matrice A.

Propriétés

• Le polynôme p_M(X) d'une matrice carrée M d'ordre n est unitaire (son coefficient dominant est égal à 1) et son degré est égal à n.

• La matrice M et sa transposée ont le même polynôme caractéristique.

• Le théorème de Cayley-Hamilton affirme qu'en remplaçant X par M dans p_M(X), on obtient la matrice nulle: p_M(M) = 0, autrement dit le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur de M. Ceci est équivalent à l'affirmation que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique de M.

• Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. La réciproque n'est pas vraie en général : deux matrices ayant même polynôme caractéristique ne sont pas nécessairement semblables.

• Une matrice M est semblable à une matrice triangulaire si et seulement si son polynôme caractéristique peut être complètement décomposé en produit de facteurs de degré un à coefficients dans $\mathbb{K}$. En fait, M est même semblable à une matrice de Jordan dans ce cas.

• Propriété de commutation :

p_AB = p_BA

Démonstration

• Cas d'un anneau commutatif quelconque (avec astuce en utilisant les matrices par blocs) :

$\begin{pmatrix}I_n & 0 \\ B & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix}X I_n-AB & -A \\ 0 & X I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_n & 0 \\ -B & I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}X I_n & -A \\ 0 & X I_n-BA \end{pmatrix}$

Il suffit de prendre le déterminant des deux membres de cette équation pour arriver au résultat.

Ce résultat se généralise facilement au cas où $A\in \mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{K})$ et $B\in \mathcal{M}_{p\times n}(\mathbb{K})$ où l'on trouve que P_AB(X).X^p = P_BA(X).Xⁿ

• Cas des corps $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$:

$\operatorname{det} \left(\left(AB - XI_n \right)\right) = \operatorname{det} \left(A\left(BA - XI_n \right)A^{-1}\right)$

Le fait de remarquer que l'ensemble des matrices inversibles GL_n(K) est dense dans $\mathcal{M}_n (K)$ permet de conclure.

Matrice compagnon

Soit $p(X)=X^n-\sum_{k=0}^{n-1} a_{k}X^{k}$ un polynôme à coefficients dans $\mathbb{K}$. La matrice d'ordre n

$M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & 1 \\ a_0 & a_1 & a_2 & \ldots &a_{n-2} & a_{n-1} \end{pmatrix}$

qui admet p(X) comme polynôme caractéristique (et polynôme minimal), est appelée matrice compagnon du polynôme (ou selon certains ouvrages, sa transposée). Une des méthodes utilisées en calcul numérique pour calculer des valeurs approchées des racines d'un polynôme est d'en construire la matrice compagnon puis de calculer des valeurs approchées des valeurs propres de cette matrice à l'aide d'une méthode itérative.

Matrice triangulaire

Dans le cas d'une matrice triangulaire (supérieure) d'ordre n, matrice de la forme :

$T=\begin{pmatrix} t_{1,1} & t_{1,2} & \ldots & \ldots & t_{1,n} \\ 0 & t_{2,2} & \ldots & \ldots & t_{2,n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & t_{n,n} \end{pmatrix}$

le déterminant p_T(X) = det(XI_n − T) qui exprime le polynôme caractéristique se factorise :

$p_T(X)=(X-t_{1,1}) (X-t_{2,2}) \ldots (X-t_{n,n})$

Le même raisonnement s'applique bien sûr au cas d'une matrice triangulaire inférieure. D'une façon générale, les valeurs propres d'une matrice triangulaire coïncident donc effectivement avec ses éléments diagonaux, comme annoncé au début.

Notes et références

1. ↑ (en) K. Itô L. and S. Nihon, Encyclopedic dictionary of mathematics, MIT Press, 2nd ed., (1993), p. 995
2. ↑ Gerard Walschap, Metric Structures in Differential Geometry, p. 179
3. ↑ Ibid, p. 181

Article connexe

Algorithme de Faddeev-Leverrier : algorithme permettant de calculer le polynôme caractéristique d'une matrice.