Spectre (algèbre linéaire)

Pour les articles homonymes, voir Spectre.

En mathématiques, le spectre d'un endomorphisme d'espace vectoriel est l'ensemble de ses valeurs spectrales. Si l'espace est de dimension finie, le spectre d'un endomorphisme est réduit à l'ensemble de ses valeurs propres.

Article détaillé : Spectre d'un opérateur linéaire.

Cas de la dimension finie

Représentation matricielle

Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie, le spectre de la matrice $A \in \mathcal{M}_n (K)$ est l'ensemble de ses valeurs propres : $\lbrace \lambda \in K, \exists X \in K^n \backslash \left\{ 0 \right\} AX = \lambda X \rbrace$.

Les valeurs propres sont solutions de l'équation : P(X) = 0, où P(X) est le polynôme caractéristique associé à l'endomorphisme. Le polynôme caractéristique est donné par la relation :

P(X) = det(A − X * I)

(det est l'opérateur « déterminant », A la matrice de l'endomorphisme dans une base de E, et I la matrice identité)

Représentation par endomorphisme

Dimension quelconque