Spectre (algèbre linéaire)


Spectre (algèbre linéaire)
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En mathématiques, le spectre d'un endomorphisme d'espace vectoriel est l'ensemble de ses valeurs spectrales. Si l'espace est de dimension finie, le spectre d'un endomorphisme est réduit à l'ensemble de ses valeurs propres.

Article détaillé : Spectre d'un opérateur linéaire.

Sommaire

Cas de la dimension finie

Représentation matricielle

Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie, le spectre de la matrice A \in \mathcal{M}_n (K) est l'ensemble de ses valeurs propres : \lbrace \lambda \in K, \exists X \in K^n \backslash \left\{ 0 \right\} AX = \lambda X \rbrace.

Les valeurs propres sont solutions de l'équation : P(X) = 0, où P(X) est le polynôme caractéristique associé à l'endomorphisme. Le polynôme caractéristique est donné par la relation :

P(X) = det(AX * I)

(det est l'opérateur « déterminant », A la matrice de l'endomorphisme dans une base de E, et I la matrice identité)

Représentation par endomorphisme

Dimension quelconque


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