Espace Dual


Espace Dual

Espace dual

En mathématiques, l'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E.

La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et hyperplans, ce qui permet une compréhension « géométrique » de certaines propriétés des formes linéaires.

Le dual topologique est une variante très considérée en analyse fonctionnelle, lorsque l'espace vectoriel est muni d'une structure additionnelle d'espace vectoriel topologique.

Sommaire

Définitions

Article détaillé : Forme linéaire.

Soient (K,+, \times) un corps, E un K-espace vectoriel

On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers K, c'est-à-dire toute application \phi : E \to K telle que

\forall (x,y) \in E^2,\ \forall \lambda \in \mathbb{K},\ \phi(\lambda x + y) = \lambda \phi(x) + \phi(y).

L'ensemble \mathcal{L}(E,K) des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel, dit espace dual de E ; il est noté E * .

Si φ est un élément de E * et x un élément de E, on écrit parfois \langle\phi,x\rangle pour φ(x). Cette notation est dite crochet de dualité.

Exemples

Cas d'un espace préhilbertien

Si l'espace vectoriel E est un espace préhilbertien, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire \langle \cdot \rangle, on a un moyen naturel de « plonger » E dans E * , c'est-à-dire d'associer à chaque élément de E un élément du dual, et ce de manière à former un isomorphisme entre E et un sous-espace de E *  : à chaque élément x de E on associe la forme linéaire \phi_x : E \to K;\ y \mapsto \langle x,y\rangle. Alors l'application f : E \to E^*;\ x \mapsto \phi_x est une application linéaire injective, donc l'espace E est isomorphe au sous-espace f(E) de E * .

Dualité en dimension finie

Si l'espace E est de dimension finie n, alors l'espace dual E * , isomorphe à E, est lui aussi de dimension n. On peut raffiner ce résultat.

Théorème de la base duale — Soit (e_1,\ldots,e_n) une base de E et soit \phi \in E^*. Alors la famille (e_1^*,\ldots,e_n^*) de vecteurs de E * définie par

\forall i \in \{1,\ldots,n\},\ \forall x \in E,\ e_i^*(x)=x_i;

(où xi est la coordonnée de x correspondant au vecteur ei) définit une base de E * , appelée base duale. Et par construction, on a

dimE = dimE * .

En dimension finie, un espace a donc la même dimension que son espace dual. Remarquons qu'on ne peut pas affirmer dans le cas général qu'un espace vectoriel est isomorphe à son dual : ceci est faux pour certains espaces vectoriels de dimension infinie.

Exemple

Les polynômes de Lagrange associés à des scalaires x_0,x_1,\dots,x_n (voir Interpolation lagrangienne) s'ils sont tous distincts deux à deux forment une base de l'ensemble des polynômes dont la base duale est formée des fonctions d'évaluations \ \phi_i(P)=P(x_i).

Orthogonal

Ici, E est un espace vectoriel quelconque (on ne suppose pas de dimension finie).

Si A est un sous-espace de E, on définit l'orthogonal A^\circ de A dans E * par :

 A^\circ=\{\phi \in E^* \,|\, \forall x \in A,\ \langle\phi,x\rangle=0\}.

Si B est un sous-espace de E * , on définit l'orthogonal B^\bot de B dans E par :

 B^\bot=\{x \in E\colon\forall \phi \in B, \langle\phi,x\rangle=0\} \,

Il ne faut pas confondre la notion d'orthogonal d'un sous-espace dans la théorie de dualité avec l'orthogonalité dans la théorie des espaces euclidiens.

Représentation des sous-espaces

Ce paragraphe présente une application très importante de l'étude de l'espace dual : la représentation d'un sous-espace comme intersection d'hyperplans. On se restreint ici au cas d'un espace vectoriel de dimension finie.

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.

Soit F un sous-espace de dimension p (distinct de E) ; on a donc p < n.

Alors, il existe q = np formes linéaires indépendantes  \phi_1,\ldots , \phi_q telles que

 F=\bigcap_{i=1}^q \ker \phi_i;

c'est-à-dire

 \forall x \in E,\ x \in F \Longleftrightarrow \left( \phi_1(x)=0\ \mathrm{et} \phi_2(x)=0\ \mathrm{et} \ldots \mathrm{et} \phi_q(x)=0\right).

Ce théorème généralise les résultats élémentaires connus en dimension 2 ou 3 sur la représentation de droite ou de plan par des équations. En particulier, dans un espace vectoriel de dimension 3, l'intersection de 2 plans indépendants est une droite.

Nota : il ne faut pas confondre la notion de droite ou de plan dans un espace affine (qui correspond à l'intuition géométrique) et celle, utilisée ici, de droite vectorielle ou de plan vectoriel. On appelle droite vectorielle un sous-espace de dimension 1, et plan vectoriel un sous-espace de dimension 2.

On peut donc représenter un sous-espace F de dimension p par q équations linéaires indépendantes, où

q = dimEp.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Espace dual ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace Dual de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Espace dual — Pour les articles homonymes, voir Dualité (mathématiques) et Dualité. En mathématiques, l espace dual d un espace vectoriel E est l ensemble des formes linéaires sur E. La structure d un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet… …   Wikipédia en Français

  • Espace Préhilbertien — En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d un produit scalaire. Cette notion généralise celles d espace euclidien ou hermitien, en omettant l hypothèse de la dimension finie. Le cas… …   Wikipédia en Français

  • Espace prehilbertien — Espace préhilbertien En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d un produit scalaire. Cette notion généralise celles d espace euclidien ou hermitien, en omettant l hypothèse de la… …   Wikipédia en Français

  • Dual Topologique — Sommaire 1 Définition 2 Topologies duales 2.1 Topologie faible du dual 2.2 Topologie forte sur le dual d un espace normé …   Wikipédia en Français

  • Espace Euclidien — En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses Éléments. Une géométrie de cette nature modélise, en physique classique, le… …   Wikipédia en Français

  • Espace euclidien (algèbre linéaire) — Espace euclidien En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses Éléments. Une géométrie de cette nature modélise, en physique …   Wikipédia en Français

  • dual — dual, duale [ dɥal; dyal ] adj. • 1948; du bas lat. dualis « deux » 1 ♦ Log., math. Se dit de propriétés qui sont par deux et qui présentent un caractère de réciprocité. Équation, expression duale, qui se déduit d une équation ou d une expression …   Encyclopédie Universelle

  • Espace Vectoriel Topologique — Les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d une structure topologique associée à une structure d espace vectoriel. Des exemples connus d espaces vectoriels… …   Wikipédia en Français

  • Espace Vectoriel — En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d effectuer des combinaisons linéaires. Étant donné un corps (commutatif) K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée… …   Wikipédia en Français

  • Espace vectoriel linéaire — Espace vectoriel En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d effectuer des combinaisons linéaires. Étant donné un corps (commutatif) K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont… …   Wikipédia en Français


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.