Espace Vectoriel Topologique


Espace Vectoriel Topologique

Espace vectoriel topologique

Les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel.

Des exemples connus d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces de Banach et les espaces de Hilbert.

Sommaire

Définition

Un espace vectoriel topologique ("e.v.t") E est un espace vectoriel sur un corps topologique K (généralement R ou C muni de leur topologie habituelle) muni d'une topologie compatible avec la structure d'espace vectoriel, c’est-à-dire vérifiant les conditions suivantes :

  • La somme de deux vecteurs est une application continue de E x E dans E,
  • Le produit d'un scalaire par un vecteur est une application continue de K x E dans E.

La catégorie des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique K est notée TVSK ou TVectK où les objets sont les K-espaces vectoriels topologiques et les morphismes sont les applications K-linéaires continues.

Voisinages de l'origine

Ensemble absorbant

Une partie \quad U d'un espace vectoriel \quad E sur \mathbb K = \mathbb R ou \mathbb C est absorbante si:

\forall v \in E \quad \exists \alpha \in \mathbb R_+^*\quad \forall \lambda \in K \quad |\lambda|\le \alpha \Rightarrow \lambda v \in U
Théorème
Tout voisinage de l'origine est un ensemble absorbant.
En effet si \mathcal V est un voisinage de 0 et si v est un vecteur quelconque, il résulte de la continuité de l'application (partielle) de \mathbb K dans \mathbb E : \lambda \mapsto \lambda v qu'il existe un voisinage de 0 dans \mathbb K qu'on peut restreindre à |\lambda|\le\alpha dont l'image est dans \mathcal V et donc  |\lambda|\le\alpha \Rightarrow \lambda v \in \mathcal V.

Ensemble symétrique

Une partie \quad U d'un e.v.t \quad E sur \mathbb K = \mathbb R ou \mathbb C est symétrique si :

\forall v \in U \quad -v\in U.

Ensemble équilibré

Une partie \quad U d'un e.v.t \quad E sur \mathbb K = \mathbb R ou \mathbb C est équilibrée si :

\forall \lambda \in K \quad \forall v \in U\quad |\lambda|\le 1 \Rightarrow \lambda v \in U

Noyau équilibré d'une partie de E contenant l'origine

Le noyau équilibré N d'une partie A de E contenant 0 est la réunion des parties équilibrées de E incluses dans A. Ce noyau est non vide puisque {0} est une partie équilibrée incluse dans A. C'est un ensemble équilibré car toute réunion d'ensembles équilibrés est équilibrée (puisque si  x \in N x appartient à une partie équilibrée incluse dans N). N est donc le plus grand ensemble équilibré inclus dans A

Théorème
Soit N le noyau équilibré d'un ensemble A contenant l'origine. Pour que \quad v \in N, il faut et il suffit que pour tout scalaire \lambda\, vérifiant |\lambda|\le 1 on ait \quad \lambda v \in A.
En effet si  v \in N alors pour tout scalaire \quad \lambda vérifiant |\lambda|\le 1 on a  \lambda v \in N \in A.
Réciproquement si v vérifie la condition |\lambda|\le 1 \Rightarrow \lambda v \in A, supposons que  v \not\in N. En posant N'=N \cup \{\mu v / |\mu|\le 1\} on voit que N' est un ensemble équilibré inclus dans A et contenant strictement N, ce qui est contradictoire.
Proposition
Quel que soit O un ouvert contenant le vecteur nul, il existe un ouvert Ω inclus dans O et équilibré.
En effet, l'application la multiplication externe est continue, donc continue au point (0_{\mathbb K},0_E), ce qui s'exprime de la manière suivante, si τ désigne la topologie de E :
\exists \alpha \in \mathbb R_+^* \quad \exists W \in \tau \qquad \forall \lambda \in \mathbb K \; \forall v \in W \qquad  |\lambda | < \alpha \; \text {et} \; y \in W \Rightarrow \lambda \cdot y \in O

L'ensemble Ω, défini par la propriété suivante, remplit la condition :

\Omega = \bigcup_{|\lambda | < \alpha} \lambda W

Espace quotient

Soit F un sous espace vectoriel de E. Il est relativement aisé de munir E/F d'une structure d'espace topologique. Soit φ la projection canonique de F sur E, par définition la topologie induite par le quotient de E/F est la plus fine qui rende φ continue. Les ouverts sont les ensembles dont l'image réciproque par φ est ouverte.

  • La topologie induite par le quotient confère à E/F une structure d'espace vectoriel topologique.

En effet, soit Ω un ouvert de E/F, son image réciproque par φ est un ouvert ω de E. L'image réciproque de ω par l'addition est un ouvert σ de ExE. La projection de σ par φxφ est un ouvert de E/FxE/F, il correspond à l'image réciproque de Ω par l'addition. Le raisonnement pour la multiplication externe est analogue.

Si E est séparé, la question se pose de savoir sous quelle condition le quotient l'est toujours :

  • La topologie de E/F est séparée si et seulement si celle de E l'est et si F est fermé.

En effet, si E n'est pas séparé alors l'image par φ de deux points non séparés est clairement non séparée. Si F n'est pas fermé, alors il existe un point x tel que tout voisinage de x rencontre F. En conséquence tout voisinage de φ(x) contient le vecteur nul.

Réciproquement si E est séparé et F fermé, considérons deux points x et y dont l'image par φ n'est pas confondue. Le point x - y n'est pas élément de F, comme F est fermé, il existe un ouvert Ω contenant x - y et d'intersection vide avec F. L'application soustraction est continue, il existe donc deux ouverts contenant respectivement x et y tel que leur image par l'application soustraction est incluse dans Ω. L'image de ses deux ouverts par φ forment deux voisinages de x et y d'intersection vide.

Types d'espaces vectoriels topologiques

Suivant l'application qu'on en fait, on utilise généralement des contraintes supplémentaires sur la structure topologique de l'espace. Ci-dessous se trouvent quelques types particuliers d'espaces topologiques, à peu près classés selon leur gentillesse.

Références

  • Alexander Grothendieck, Topological vector spaces, Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1973 (ISBN 0677300204)
  • G Köthe, Topological vector spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 159, Springer-Verlag, New York, 1969
  • Helmuth H. Schaefer, Topological vector spaces., Springer-Verlag, New York, 1971 (ISBN 0387987266)
  • F Trèves, Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels, Academic Press, 1967 (ISBN 0486453529)
  • N Bourbaki Espaces vectoriels topologiques Masson 1981 (ISBN 2225684103)

Voir aussi

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