Projecteur (mathematiques)


Projecteur (mathematiques)

Projecteur (mathématiques)

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En algèbre linéaire, le projecteur est un endomorphisme qu'on peut présenter de deux façons équivalentes

On peut aussi définir, dans un espace de Hilbert, le projecteur sur un convexe fermé (notion topologique et non plus algébrique)

Sommaire

Définition de la projection vectorielle

Soit F un sous-espace vectoriel de E, G un supplémentaire dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : x=x'+x'', (x',x'') \in F \times G. La projection p sur F parallèlement à G est alors l'application p qui associe à tout x de E le vecteur x' de F.

p : \left\{\begin{matrix} E &\rightarrow  F\\ x &\mapsto x'\end{matrix}\right.

Propriétés

  • Im(p)=F :
    • \forall x \in E, p(x)=x' \in F \Rightarrow  Im(p) \subset  F.
    • \forall x \in F, x=p(x) \in Im(p) \Rightarrow  F \subset  Im(p).
  • Ker(p)=G :
    • \forall x \in E, p(x)=0 \Leftrightarrow  x'=0 et x=x'' \in G \Rightarrow  Ker(p) \subset  G.
    • \forall x \in G, p(x)=0 \Rightarrow  G \subset  Ker(p).
  • p\circ p = p

Identification des projecteurs et des projections

Définissons les projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p2=p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. On prouve maintenant la réciproque.

Théorème de caractérisation des projecteurs

Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur Im p parallèlement à Ker p. Notamment si p est un projecteur Im p et Ker p sont des sous-espaces supplémentaires.

  • Démonstration : on fait une démonstration valable en toute dimension
  • les deux espaces sont en somme directe : si x est dans leur intersection, x est de la forme p(y) et vérifie p(x)=0=p2(y)=p(y)=x.
  • tout vecteur x de E se décompose, sous la forme (d'ailleurs unique) x = p(x) + [xp(x)]

Le premier élément est dans Im p, le second dans Ker p.

Finalement « projecteurs » et « couples d'espaces vectoriels supplémentaires » se correspondent bijectivement.

Projecteur associé à un autre projecteur

La projection sur G parallèlement à F est l'application q=Id-p, appelé aussi projecteur associé à p.

L'image de q n'est autre que le noyau de p, l'image de p est le noyau de q.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires

Un espace vectoriel E est somme directe de sous espaces vectoriels E_1,\cdots,E_n si et seulement si pour tout i \in \left \{ 1,\cdots, n \right \} il existe des projecteurs \pi_i : E \to E_i vérifiant : Id_E = \pi_1 + \cdots + \pi_n et \pi_i \circ \pi_j = 0 si i \neq j.

Symétries

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s2 est l'identité (ne pas confondre avec endomorphisme symétrique).

  • p est un projecteur si et seulement si s=2p-Id est une symétrie vectorielle

La recherche des endomorphismes tels que p2=p, ou que s2=Id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u)=0 pour P polynôme et u endomorphisme, voir l'article polynôme d'endomorphisme pour des généralisations.

Projecteurs orthogonaux

Représentation matricielle en base adaptée

En choisissant une base de l'espace qui soit la réunion d'une base du noyau et d'une base de l'image (ce qui est possible, car image et noyau sont supplémentaires), on obtient une représentation matricielle vérifiant les propriétés suivantes :

  • Sur la diagonale apparaissent uniquement des "1" et des "0", et le nombre de "1" est égal au rang du projecteur ;
  • Les autres coefficients sont nuls.

Voir aussi

Articles connexes

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