Codimension


Codimension

La codimension est une notion de géométrie, rencontrée en algèbre linéaire, en géométrie différentielle et en géométrie algébrique. C'est une mesure de la différence de tailles entre un espace et un sous-espace.

Sommaire

En algèbre linéaire

Définitions

Un sous-espace vectoriel F d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K est dit de codimension finie dans E si l'espace vectoriel quotient E/F est de dimension finie, ou encore, de manière équivalente, si F admet un sous-espace supplémentaire de dimension finie ; dans ce dernier cas, tous les supplémentaires de F étant isomorphes, ils auront même dimension. On peut alors définir la codimension de F dans E par :

\mathrm{codim}_E(F)~ = \dim(E/F).

Cette codimension est aussi égale à la dimension de n'importe quel supplémentaire de F dans E[1]. Cela résulte du théorème d'isomorphisme suivant :

Soient F un sous-espace vectoriel de E et u une application linéaire de E dans E'. F est un supplémentaire dans E de ker(u) si et seulement si l'application obtenue par restriction de u au départ à F et à l'arrivée à Im(u) est un isomorphisme de F sur Im(u).

Si G et H sont deux supplémentaires de F dans E, on en déduit qu'ils sont isomorphes en prenant pour u la projection sur H = Im(u) parallèlement à F = ker(u). Si l'on prend pour u l'application linéaire canonique de E dans l'espace quotient E' = E/F, comme ker(u) = F et Im(u) = E/F, le théorème d'isomorphisme montre que tout supplémentaire de F dans E est isomorphe à E/F.

Il résulte de la définition que F=E si et seulement si codimE(F) = 0.

Cas de la dimension finie

Lorsque E est de dimension finie, si E = F\oplusG, alors dim(E) = dim(F) + dim(G) ; en effet :

Théorème — Lorsque l'espace E est de dimension finie, tous les sous-espaces vectoriels de E sont de codimension finie dans E et de dimension finie. Si F est l'un d'entre eux :

\mathrm{codim}_E(F)~ = \dim(E)-\dim(F)

.

Théorème du rang

Article détaillé : Théorème du rang.

On rappelle qu'une application linéaire u\in\mathcal{L}(E,F) est de rang fini si son image est un espace vectoriel de dimension finie. C'est notamment le cas lorsque E ou F de dimension finie[1].

Théorème du rang — Pour que u\in\mathcal{L}(E,F) soit de rang fini, il faut et il suffit que le noyau de u soit de codimension finie dans E, et dans ce cas :

\mathrm{codim}_E(\ker (u)) = \mathrm {dim\, Im }u

En géométrie différentielle

Une variété de dimension n est un espace topologique M localement homéomorphe à un ouvert de Rn. La définition d'une sous-variété généralise celle de sous-espace vectoriel. La codimension d'une sous-variété N de M est définie comme

\mathrm{codim}_M(N)~ = \dim(M) - \dim(N)

N étant elle-même une variété. En géométrie différentielle, la codimension peut aussi être associée aux plongements, aux immersions, aux feuilletages (en), etc. Si M est connexe, alors N=M si et seulement si codimM(N) = 0.

En géométrie algébrique

Article détaillé : Dimension de Krull.

En géométrie algébrique, comme une variété algébrique (ou un schéma) peut être la réunion de deux parties fermées strictes de dimensions différentes, la notion de codimension est un peu plus délicate. Une variété non vide qui n'est pas réunion de deux fermés strictement plus petits est dite irréductible.

La codimension d'un fermé irréductible N contenu dans la variété M est par définition la borne supérieure des entiers n tels qu'il existe une suite strictement croissante (F_0, F_1, \ldots, F_n) de fermés irréductibles de M avec F0 = N. Elle est notée codim(N, M) en géométrie algébrique. Si M est irréductible, alors N=M si et seulement si codim(N,M) = 0.

Lorsque M est une variété algébrique irréductible, on a :

\mathrm{codim}(N, M)~ = \dim(M) - \dim(N).

Dans une variété algébrique intègre, une hypersurface (le lieu des zéros d'une fonction régulière non-nulle et non-inversible) est de codimension 1.

Un cycle de codimension n est une combinaison linéaire formelle à coefficients entiers de fermés irréductibles de codimension n[2].

Notes et références

  1. a et b Lucien Chambadal et Jean-Louis Ovaert, « Algèbre linéaire et multilinéaire », dans Dictionnaire des mathématiques, Algèbre, analyse, géométrie, Albin Michel & Encyclopædia Universalis, 2002, 924 p. (ISBN 2-226-09423-7), p. 636-638 
  2. Christian Houzel, « Géométrie algébrique », dans Dictionnaire des mathématiques, Algèbre, analyse, géométrie, Albin Michel & Encyclopædia Universalis, 2002, 924 p. (ISBN 2-226-09423-7), p. 492-493 

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Codimension de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • codimension — ● codimension nom féminin Codimension dans E d un sous espace vectoriel F d un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, dimension sur K de l espace vectoriel quotient, E°F, de E par F. (Si E est de dimension finie, F est de codimension finie …   Encyclopédie Universelle

  • Codimension — In mathematics, codimension is a basic geometric idea that applies to subspaces in vector spaces, and also to submanifolds in manifolds, and suitable subsets of algebraic varieties. The dual concept is relative dimension. Contents 1 Definition 2… …   Wikipedia

  • Codimension — Die Kodimension bezeichnet in verschiedenen Bereichen der Mathematik das Komplement zur Dimension: Beispielsweise ist im dreidimensionalen Raum die Summe aus Dimension und Kodimension eines Objektes gleich 3. Definition Es sei V ein Vektorraum… …   Deutsch Wikipedia

  • codimension — noun The difference between the dimension of a space and the dimension of a given subspace of the first one …   Wiktionary

  • SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES (la théorie mathématique et ses applications) — De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les «singularités» ont bien des incarnations en mathématiques; mais cela n’exclut pas une certaine unité: qu’il s’agisse …   Encyclopédie Universelle

  • Classification of manifolds — In mathematics, specifically geometry and topology, the classification of manifolds is a basic question, about which much is known, and many open questions remain. Contents 1 Main themes 1.1 Overview 1.2 Different categories and additional… …   Wikipedia

  • Diviseur (géométrie algébrique) — En mathématiques, plus précisément en géométrie algébrique, les diviseurs sont une généralisation des sous variétés de codimension 1 de variétés algébriques ; deux généralisations différentes sont d un usage commun : les diviseurs de… …   Wikipédia en Français

  • GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE — Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l’algèbre relativement récente (cf. ALGÈBRE, DEDEKIND). Pour «comprendre» les phénomènes d’intersection des courbes et des surfaces, il s’est révélé nécessaire d’élaborer des… …   Encyclopédie Universelle

  • Dimension de Krull — En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie algébrique, la taille et la complexité d une variété algébrique (ou d un schéma) est d abord mesurée sa dimension. Elle est basée sur la topologie de Zariski et coïncide avec l intuition… …   Wikipédia en Français

  • LINÉAIRE ET MULTILINÉAIRE (ALGÈBRE) — LINЙAIRE ET MULTILINЙAIRE (ALGИBRE) L’algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu’on la trouvera présentée ici, s’est progressivement dégagée, au cours du XIXe siècle et au début du XXe, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n …   Encyclopédie Universelle