Théorème du rang

En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, le théorème du rang lie le rang d'une application linéaire et la dimension de son noyau. Il peut être vu comme un cas particulier de théorème d'isomorphisme, ou être interprété par la notion d'indice d'application linéaire. En dimension finie, il permet notamment de caractériser l'inversibilité d'une application linéaire ou d'une matrice par son rang.

Le théorème du rang

Théorème du rang — Soient E et F deux espaces vectoriels (de dimensions finies ou infinies) sur un corps K et soit $f\in\mathcal{L}(E,F)$ une application linéaire. Alors

${\rm rg } f+{\rm dim\,} \ker f={\rm dim }\, E\,$,

où rgf désigne la dimension de l'image de f.

Une autre manière de formuler ce résultat consiste à dire que le rang de f est égal à la codimension de son noyau.

Pour démontrer le théorème, on vérifie que pour toute base $(u_s)_{s\in S}$ du noyau et toute base $(f(v_t))_{t\in T}$ de l'image, $(u_s)_{s\in S}\cup(v_t)_{t\in T}$ est une base de E. En effet, cette famille est génératrice (pour tout vecteur x, en notant x_t les coordonnées de f(x) dans la base de l'image et x_s celles de $x-\sum x_t v_t$ dans la base du noyau on obtient $x=\sum x_s u_s+\sum x_t v_t$) et libre (sous l'hypothèse que $\sum a_s u_s+\sum b_t v_t=0$ – les a_s et les b_t non nuls étant supposés en nombre fini dans le cas de la dimension infinie – on obtient, en prenant l'image par f, $0+\sum b_tf(v_t)=0$, donc par indépendance des f(v_t) les b_t sont nuls, si bien que l'hypothèse de départ se simplifie en $\sum a_su_s=0$, dont on déduit, par indépendance des u_s, que les a_s sont nuls aussi).

Application à la caractérisation des isomorphismes

Lorsque les espaces vectoriels E et F sont de dimension finie et ont même dimension n, le théorème du rang permet d'établir^[1] l'équivalence entre les propriétés suivantes :

1. l'application f est un isomorphisme de E sur F ;
2. l'application f est surjective ;
3. l'application f est injective ;
4. le rang de f est égal à n.

Cas particulier des endomorphismes

Soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E dans lui-même. On a comme précédemment la relation:

$\mathrm {dim\, Im }f+\mathrm {dim\,}\ker f=\mathrm {rg}(f)+\mathrm {dim\,}\ker f=\dim E\,$,

d'où l'on déduit que Im f et Ker f sont supplémentaires si et seulement s'ils sont indépendants, c'est-à-dire si leur intersection est réduite au vecteur nul.

Cas des matrices

Le théorème du rang peut s'écrire pour les matrices. Si A est une matrice (m,n) sur un corps K, alors

${\rm rg }A+{\rm dim\,}(\ker U)=n$

où U est l'application linéaire de $K^n\rightarrow K^m$ canoniquement associée à la matrice A.

Certains définissent le noyau d'une matrice de la manière suivante :

$\ker A :=\{X\in\mathcal{M}_{n,1}(K) \mid AX=0\}$,

qui est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{n,1}(K)$ de même dimension que ker U.

Le théorème du rang s'écrit alors

${\rm rg }\,A+{\rm dim }(\ker A)=n$.

Autres formulations et généralisations

Généralisations

Ce théorème est une forme particulière du premier théorème d'isomorphisme de l'algèbre dans le cas des espaces vectoriels.

Dans un langage plus moderne, le théorème peut être énoncé de la manière suivante : si

$0 \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow 0$

est une suite exacte courte d'espaces vectoriels, alors

dim(D) + dim(F) = dim(E)

Ici F joue le rôle de Imf et D celui de Kerf.

En dimension finie, cette formulation peut être généralisée : si

$0 \rightarrow E_1 \rightarrow E_2 \rightarrow \cdots \rightarrow E_r \rightarrow 0$

est une suite exacte d'espaces vectoriels de dimension finie, alors

$\sum_{i=1}^r (-1)^i\dim(E_i) = 0.$

Interprétation par la notion d'indice

Le théorème du rang pour des espaces vectoriels de dimension finie peut aussi être formulé en termes d'indice d'application linéaire. L'indice d'une application linéaire $f:E\rightarrow F$, où E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie, est défini par

indicef = dim(Kerf) − dim(Cokerf) où Coker désigne le conoyau de f.

Intuitivement, Kerf est le nombre de solutions indépendantes x de l'équation f(x) = 0, et dim(Cokerf) est le nombre de restrictions indépendantes qui doivent être mises à la place de y pour rendre l'équation f(x) = y résoluble. Le théorème du rang pour des espaces vectoriels de dimension finie est équivalent à la proposition

indicef = dim(E) − dim(F)

Nous voyons que nous pouvons facilement déterminer l'indice d'une application linéaire f à partir des espaces impliqués, sans nul besoin d'étudier f en détail. Cela se remarque également dans un résultat beaucoup plus profond : le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer, qui affirme que l'indice de certains opérateurs différentiels peut être obtenu à partir de la géométrie des espaces impliqués.

Références

1. ↑ Lucien Chambadal et Jean-Louis Ovaert, « Algèbre linéaire et multilinéaire », dans Dictionnaire des mathématiques, Algèbre, analyse, géométrie, Albin Michel & Encyclopædia Universalis, 2002, 924 p. (ISBN 2-226-09423-7), p. 637-638