Décomposition de Frobenius

Décomposition de Frobenius

On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie et un endomorphisme u de cet espace. Une décomposition de Frobenius est une décomposition de l'espace E en somme directe de sous-espaces cycliques, telle que les polynômes minimaux (ou caractéristiques) respectifs des restrictions de u aux facteurs sont les facteurs invariants de u. La décomposition de Frobenius peut s'effectuer sur un corps quelconque, on ne suppose pas ici que K est algébriquement clos.

Sommaire

Polynôme conducteur

Soit x un vecteur de E, l'ensemble I_x=\{P\in K[X]\mid P(u)(x)=0\} est un idéal non nul de K[X], il est donc engendré par un unique polynôme normalisé πu,x appelé polynôme conducteur de u en x, ou parfois polynôme minimal local de u en x.

Sous-espace cyclique

Soit x un vecteur de E, l'ensemble S_x=\{P(u)(x)\mid P\in K[X]\} est un sous-espace vectoriel de E stable par u appelé sous-espace u-cyclique engendré par x, ou encore clôture u-stable de x.

Soit P\in K[X], on a P\in I_x si et seulement si \forall y\in S_x,\ P(u)(y)=0. Ainsi le polynôme conducteur πu,x est le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par u sur le sous-espace Sx.

La dimension de Sx est égale au degré du polynôme πu,x.

Vecteurs u-maximums

Pour tout vecteur x de E, le polynôme conducteur πu,x divise le polynôme minimal πu de u. On dira que x est u-maximum lorsque πu,x = πu. La décomposition de Frobenius est basée sur les deux résultats non triviaux suivants :

  • Tout endomorphisme u admet un vecteur u-maximum.
  • Pour tout vecteur u-maximum x, Sx admet un supplémentaire stable.

En procédant par récurrence, on parvient alors à la :

Décomposition de Frobenius

Il existe une suite de vecteurs x_1,x_2,\dots,x_p de E telle que

  • E= S_{x_1}\oplus S_{x_2}\oplus\dots\oplus S_{x_p}
  • \pi_{u,x_p}\mid\dots\mid \pi_{u,x_2}\mid \pi_{u,x_1}

Les polynômes \pi_{u,x_i} ne dépendent pas du choix des vecteurs xi, ce sont les facteurs invariants de u. Le polynôme minimal \pi_u =\pi_{u,x_1} et le polynôme caractéristique \chi_u=\pi_{u,x_1}\pi_{u,x_2}\dots\pi_{u,x_p}.

Deux endomorphismes sont semblables ssi ils ont les mêmes facteurs invariants.

Les endomorphismes induits par u ont des propriétés spécifiques, ce sont des endomorphismes cycliques dont il ne reste plus qu'à étudier les propriétés spécifiques.

Endomorphisme cyclique

On dit que u est un endomorphisme cyclique ssi il existe un élément x de E tel que Sx = E.

On peut caractériser les endomorphismes cycliques de plusieurs manières : un endomorphisme u de E est cyclique si et seulement si

  • Le degré du polynôme minimal de u est égal à la dimension de E
  • Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de u sont égaux (au signe près).
  • Un endomorphisme commute avec u si et seulement si c'est un polynôme en u.
  • Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est une matrice compagnon. C'est alors la matrice compagnon du polynôme minimal de u.

Applications

  • La décomposition de Frobenius permet d'étudier le commutant et le bicommutant d'un endomorphisme.
  • Elle permet aussi de démontrer élégamment le fait qu'une matrice et sa transposée sont semblables. On le démontre manuellement pour une matrice compagnon et cela suffit.

Références

  • On pourra trouver les démonstrations ici [1].
  • J. Fresnel: Algèbre des matrices, Hermann 1997, § A 4.1, pages 139 - 141.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Décomposition de Frobenius de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Décomposition de Dunford — En mathématiques, la décomposition de Dunford s inscrit dans la problématique de la réduction d endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l espace vectoriel en une somme directe de sous espaces stables où l expression de l endomorphisme …   Wikipédia en Français

  • Decomposition en valeurs singulieres — Décomposition en valeurs singulières En mathématiques, le procédé d algèbre linéaire de décomposition en valeurs singulières (ou SVD, de l anglais : Singular Value Decomposition) d une matrice est un outil important de factorisation des… …   Wikipédia en Français

  • Décomposition En Valeurs Singulières — En mathématiques, le procédé d algèbre linéaire de décomposition en valeurs singulières (ou SVD, de l anglais : Singular Value Decomposition) d une matrice est un outil important de factorisation des matrices rectangulaires réelles ou… …   Wikipédia en Français

  • Decomposition des ideaux premiers dans les extensions galoisiennes — Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes En mathématiques, l interaction entre le groupe de Galois d une extension galoisienne de corps de nombres (ou de corps de nombres p adiques, ou de corps de fonctions), et la… …   Wikipédia en Français

  • Décomposition Des Idéaux Premiers Dans Les Extensions Galoisiennes — En mathématiques, l interaction entre le groupe de Galois d une extension galoisienne de corps de nombres (ou de corps de nombres p adiques, ou de corps de fonctions), et la manière dont les idéaux premiers de l anneau des entiers algébriques …   Wikipédia en Français

  • Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes — En mathématiques, l interaction entre le groupe de Galois d une extension galoisienne de corps de nombres (ou de corps de nombres p adiques, ou de corps de fonctions), et la manière dont les idéaux premiers de l anneau des entiers algébriques… …   Wikipédia en Français

  • Décomposition en valeurs singulières — En mathématiques, le procédé d algèbre linéaire de décomposition en valeurs singulières (ou SVD, de l anglais : Singular Value Decomposition) d une matrice est un outil important de factorisation des matrices rectangulaires réelles ou… …   Wikipédia en Français

  • Frobenius endomorphism — In commutative algebra and field theory, which are branches of mathematics, the Frobenius endomorphism (after Ferdinand Georg Frobenius) is a special endomorphism of rings with prime characteristic p , a class importantly including fields. The… …   Wikipedia

  • Frobenius normal form — In linear algebra, the Frobenius normal form, Turner binormal projective form or rational canonical form of a square matrix A is a canonical form for matrices that reflects the structure of the minimal polynomial of A and provides a means of… …   Wikipedia

  • Ferdinand Georg Frobenius — Pour les articles homonymes, voir Frobenius. Ferdinand Georg Frobenius. Ferdinand Georg Frobenius, connu aussi sous le nom de Georg Frobenius, né le 26 octobre& …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”