Base duale

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En algèbre linéaire, la base duale est une base de l'espace dual d'un espace vectoriel E de dimension finie, construite à partir d'une base de E. Il est rappelé que l'espace dual de E, noté E ^* est l'espace des formes linéaires sur E. La réduction des formes quadratiques est un exemple dans lequel les bases duales peuvent intervenir. Elles interviennent aussi pour transporter des structures géométriques d'un espace vectoriel réel ou complexe sur son espace dual, ce qui intervient notamment en géométrie différentielle.

Définition

Soit E un espace vectoriel sur un corps K de dimension finie n. Soit $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)$ une base de E (famille libre et génératrice). Comme $\mathcal{B}$ est une base, tout vecteur v de E s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs e_i :

$v=\sum_{i=1}^n e_i^*(v)e_i\, ,$

où $e_i^*(v)$ est un scalaire, un élément du corps K. L'application $v\mapsto e_i^*(v)$ est une forme linéaire sur E. L'application $e_i^*$ peut aussi étre définie comme l'unique forme linéaire sur E vérifiant, pour tout entiers j entre 1 et n, $e_i^*(e_j)=\delta_{ij}$ où δ_ij vaut 1 ou 0 suivant que i et j sont égaux ou non. La famille $(e_1^*,\dots,e_n^*)$ forme une base de l'espace dual E ^* , appelée la base duale de $\mathcal{B}$. De plus, toute forme linéaire u sur E s'écrit :

$u=\sum_{i=1}^n u(e_i)e_i^*$ (1).

Cette construction suffit à montrer qu'un espace vectoriel et son dual ont la même dimension.

Base duale de la base duale

Il existe une injection naturelle $\iota:E\rightarrow E^{**}$de E dans le bidual de E (= dual du dual de E), donné par l'évaluation des formes linéaires en vecteurs :

ι(v)(λ) = λ(v).

Comme E, E^* et E^** ont même dimension, cette application linéaire injective est un isomorphisme. Une autre manière d'obtenir ce résultat est la suivante. Soit $(e_1^{**},\dots,e_n^{**})$ la base duale de $(e_1^*,\dots,e_n^*)$. L'équation (1) se traduit par :

$\iota(e_i)=e_i^{**}$.

On parle d'injection naturelle, à la suite de l'article fondateur de la théorie des catégories, « A general Theory of Natural Equivalences », de Samuel Eilenberg et Saunders MacLane (1945, p. 234) : les auteurs partent en effet du constat qu'il existe certes un isomorphisme entre un espace vectoriel et son espace dual, mais que cet isomorphisme ne peut être formulé indépendamment de la base particulière que l'on choisit ; tandis qu'il existe, entre un espace vectoriel et son espace bidual, un isomorphisme « naturel », dans le sens où il est indépendant de la base adoptée.

Changement de bases

Article détaillé : Matrice de passage.

Soit $\mathcal{B}'=(f_1,\dots,f_n)$ une seconde base de E, qui admet une base duale notée $(f_1^*,\dots,f_n^*)$. La matrice de passage de $\mathcal{B}'$ à $\mathcal{B}$ est la matrice M donnée par les coefficients $M_{ij}=e_i^*(f_j)$. L'équation (1) donne

$e_i^*=\sum_{j=1}^n e_i^*(f_j)f_j^*=\sum_{j=1}^nM_{ij}f_j^*$

L'application de M au n-uplet des coordonnées d'un vecteur v dans la base $\mathcal{B}'$ donne le n-uplet des coordonnées de v dans $\mathcal{B}$. Explicitement,

$\sum_{j=1}^n \lambda_j f_j=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n M_ij\lambda_j\right)e_i$.

Si M ^{− 1} = (M^ij) désigne l'inverse de la matrice M et ses coefficients, alors M ^{− 1} est la matrice de passage de la base duale $(f_1^*,\dots,f_n^*)$ à $(e_1^*,\dots,e_n^*)$, ce qui signifie

$f_j^*=\sum_{i=1}^n M^{ji}e_i^*$.

Applications

Réduction de Gauss

Articles détaillés : Réduction de Gauss et Loi d'inertie de Sylvester.

Soit q une forme quadratique sur un espace vectoriel réel E. Alors il existe une base $(e_1,\dots,e_n)$ de E, telle que

$q=l_1^2+\dots+l_r^2-l_{r+1}^2-\dots-l_{r+s}^2$

où $(l_1,\dots,l_n)$ est la base duale de $(e_1,\dots,e_n)$.

L'esapce vectoriel $\{l_i=0,\, i\leq r+s\}$ est le noyau de q. Les entiers r et s ne dépendent pas du choix de la base e, et le couple (r,s) s'appelle la signature de q.