Sous-espace vectoriel


Sous-espace vectoriel

En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un sous-espace vectoriel de E est une partie non vide F de E stable par combinaisons linéaires. Autrement dit, cette partie doit vérifier :

  • La somme vectorielle de deux vecteurs de F appartient à F ;
  • La multiplication d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F.

Ces conditions imposent à ce que le vecteur nul appartienne à F. Muni des lois induites, F est un K-espace vectoriel. l'espace nul {0} et l'espace total E sont respectivement les plus petit et plus grand sous-espaces vectoriels de E. En général, une réunion finie de sous-espaces vectoriels n'est pas stable par combinaisons linéaires. Cependant, étant donnée une famille (F_i)_{i\in I} de sous-espaces vectoriels de E, son intersection est un sous-espace vectoriel de E. La somme de la famille (F_i)_{i\in I} est le plus petit sous-espace contenant tous les Fi.

Sommaire

Définition équivalente

Le sous-ensemble F est un \mathbb K-sous-espace vectoriel de E si et seulement si :

  •  F \subset E
  •  F \neq \emptyset  ;
  •  \forall u,v \in F, \ u + v \in F  ;
  •  \forall \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall u \in F , \ \lambda u \in F .

Ceci équivaut à :

  •  F \subset E
  •  F \neq \emptyset ;
  •  \forall u,v \in F, \forall \lambda,\beta \in \mathbb{K}, \ \lambda  u + \beta v \in F.

En d'autres termes, F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement s'il n'est pas vide et est stable par combinaisons linéaires.

Nota : dans tout espace vectoriel E non réduit à \ \{0\}, il y a au moins deux sous-espaces vectoriels. Ce sont \ \{0\} et E lui-même : on les appelle les deux sous-espaces vectoriels triviaux.

Remarque 1 : un sous-espace vectoriel F de E contient nécessairement le vecteur nul \ 0_E de E (en effet, comme F est non vide, il existe au moins un élément \ u_0 de F ; alors, pour tout \ \lambda dans \ \mathbb{K}, λu0 appartient à F ; le choix \ \lambda = 0 donne 0_E = 0 \cdot u_0 \in F).

C'est pourquoi, lorsqu'il s'agit de montrer qu'un sous-ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de E, on vérifie souvent que F ne soit pas vide en s'assurant qu'il contient le vecteur nul (s'il ne le contient pas, il y a immédiatement contradiction).

Remarque 2 : lorsque E n'est pas réduit à \ \{0\}, on définit dans l'ensemble  G = E \setminus \{0_E\} une relation d'équivalence R qui consiste à dire que deux éléments V et W sont liés par R s'il existe un élément k non nul du corps commutatif K tel que W = k V. Alors P, l'ensemble quotient de G par R, a une structure très riche d'espace projectif.

Intersection de deux sous-espaces vectoriels

Propriété

Soient  F_1\quad et  F_2\quad deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :

  •  F_1 \cap F_2 est un sous-espace vectoriel de E .

Plus généralement, toute intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, c'est-à-dire que : pour toute famille  (F_i)_{i\in I} de sous-espaces vectoriels de E,  \cap_{i\in I}F_i est un sous-espace vectoriel de E.

Union de sous-espaces vectoriels

Dans le cas général, la structure de sous-espace vectoriel n'est pas stable par l'union. Il existe deux propositions traitant ce cas.

  • E est ici de dimension finie, et son corps associé est de cardinal infini. Si (Fi) est une famille finie de sous-espaces vectoriels de E et tous différents de E, alors l'union de la famille (Fi) est différente de E.
  • Si (Fi) est une famille de sous-espaces vectoriels de E telle que l'union de deux éléments de cette famille soit toujours incluse dans un troisième élément de la famille, alors l'union de la famille (Fi) est un sous-espace vectoriel de E.

Somme de deux ou plusieurs sous-espaces vectoriels

Définition

Soient  F_1\quad et  F_2\quad deux sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E :

 F_1 + F_2 = \left\{x \in E \;|\; \exists x_1 \in F_1, \exists x_2 \in F_2, x = x_1 + x_2\right\} .

Propriété et définition

  •  F_1 + F_2\quad est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois  F_1 \quad et  F_2\quad . On l'appelle somme de  F_1\quad et  F_2\quad.
  • Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois  F_1 \quad et  F_2\quad , alors  F_1 + F_2 \subset F .
C'est pourquoi on dit que  F_1 + F_2\quad est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant  F_1 \cup F_2. Cela équivaut à :
  •  F_1 + F_2\quad est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant  F_1 \cup F_2.

Remarque : la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est pas, en général, un sous-espace vectoriel ; pour qu'elle le soit, il faut et il suffit que l'un des deux soit inclus dans l'autre.

Généralisation

Soient  F_1, F_2, \dots, F_m m sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E :

 \sum_{i = 1}^m F_i = \left\{x \in E \;|\; \exists (x_1, x_2, \dots, x_m) \in F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_m, x = x_1 + x_2 + \cdots + x_m\right\} .
C'est l'ensemble des vecteurs de E qui admettent au moins une décomposition en somme de vecteurs appartenant respectivement aux sous-espaces vectoriels  F_1, F_2, \dots, F_m (si cette décomposition est de plus unique, la somme des sous-espaces est dite directe).

Dès lors :

  •  \sum_{i = 1}^m F_i est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois  F_1, F_2, \dots, F_m . On l'appelle somme de ces sous-espaces.
  • Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois  F_1, F_2, \dots, F_m , alors  \sum_{i = 1}^m F_i \subset F .
On dit de même que  \sum_{i = 1}^m F_i est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant  F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_m.

Sous-espace vectoriel engendré

Définition

Soit A une partie quelconque de E.

  • Si A est non vide, on définit le sous-ensemble suivant de E :
 \mbox{Vect}(A) = \left\{ \sum_{i=1}^n {\lambda}_i x_i \;\bigg|\; n \in \mathbb{N}^\star, {\lambda}_i \in \mathbb K, x_i \in A \right\}.
(ainsi, Vect(A) est par définition l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A).
  • On complète cette définition en posant \mbox{Vect}(\emptyset) = \{0_E\}.

Propriété 1

Soit A une partie de E.

  • L'ensemble Vect(A) est un sous-espace vectoriel de E, et il contient A.
  • Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant A, alors \mbox{Vect}(A) \subset F.
C'est pourquoi on dit que Vect(A) est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A.
On l'appelle sous-espace vectoriel de E engendré par A.
  • Le sous-espace vectoriel engendré par A est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A.

Nota : considérons l'application \varphi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E), A \mapsto \mbox{Vect}(A), où  \mathcal{P}(E) désigne l'ensemble des parties de E.

On désigne par A et B deux parties quelconques de E. Il résulte de la propriété précédente que :

  • L'application \varphi est croissante : si A \subset B, alors  \mbox{Vect}(A) \subset \mbox{Vect}(B) .
  • L'application \varphi est extensive :  A \subset \mbox{Vect}(A) .
  • L'application \varphi est idempotente :Vect((Vect(A)) = Vect(A)
On dit alors que \varphi est une fermeture. Les sous-espaces vectoriels de E sont les points fixes de \varphi  :
  • Pour qu'une partie A de E soit un sous-espace vectoriel de E, il faut et il suffit que Vect(A) = A.

Propriété 2

Soient A et B deux parties de E. Alors :

  •  \mbox{Vect}(A) + \mbox{Vect}(B) = \mbox{Vect}(A \cup B)

Espace vectoriel fini

Article détaillé : Espace vectoriel fini.

Soit K un corps fini de cardinal q, et soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n sur K. Alors l'ensemble E est fini de cardinal qn. Il possède un nombre fini de sous-espaces vectoriels. Le nombre de sous-espaces de dimension k vaut

\frac{(q^n-1)(q^{n}-q)\dots (q^{n}-q^{k-1})}{(q^k-1)(q^{k}-q)\dots (q^k-q^{k-1})}.

Cette quantité est le quotient du nombre de familles libres à k éléments de E par le nombre des bases dans un K-espace vectoriel de dimension k.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Sous-espace vectoriel de Wikipédia en français (auteurs)

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