Théorème de Banach-Schauder

 Ne pas confondre ce théorème de l'application ouverte avec théorème de l'application ouverte (analyse complexe).

En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach-Schauder, également appelé théorème de l'application ouverte est un résultat fondamental qui affirme qu'une application linéaire continue surjective entre deux espaces vectoriels normés complets est ouverte. C'est une conséquence importante du théorème de Baire, qui affirme que dans un espace métrique complet (et donc en particulier dans un espace de Banach), toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense, ce qui permet de généraliser le théorème de Banach-Schauder aux espaces de Fréchet.

Énoncé

Soient E et F deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de E vers F.

Si f est surjective, alors f est ouverte, i.e. l'image de tout ouvert de E par f est un ouvert de F.

Démonstration

Pour montrer que f est ouverte, il suffit par linéarité de montrer que l'image de tout voisinage de 0 (dans E) par f est un voisinage de 0 (dans F), i.e

$\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, B_F(0, \eta) \subset f(B_E(0, \varepsilon))$

(Par homogénéité de f, il suffit même de le faire pour un seul ε). On introduit les fermés suivants :

$F_n = \overline{f(B_E(0,n))}$

Comme f est surjective, on dispose de l'égalite ensembliste :

$F = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} F_n$

F est un espace de Banach, en particulier il vérifie la propriété de Baire, donc un de ces fermés, F_N est d'intérieur non vide : il contient une boule B_F(y,η).

Le fermé F_2N contient donc la boule B_F(0,η). Par homogénéité de f on dispose ainsi d'un entier M tel que :

$B_F(0,1) \subset \overline{f(B_E(0,M))}$

Il ne reste plus qu'à faire sauter la barre. Par homogénéité de f, on déduit de ce résultat que :

$\forall n \in \mathbb{N}, B_F(0,1/2^n) \subset \overline{f(B_E(0,M/2^n))}$

Montrons que $B_F(0,1) \subset f(B_E(0,3M))$. Pour cela, donnons-nous un $z \in B_F(0,1)$

• Il existe x₀ de norme inférieure à M tel que z₁ = z − f(x₀) soit de norme inférieure à 1/2.
• Il existe x₁ de norme inférieure à M / 2 tel que z₂ = z₁ − f(x₁) soit de norme inférieur à 1/4.

On construit par récurrence une suite (x_n) de points de E telle que $||x_n|| \leq M/2^n$ et $z_n = z - f(x_0 + \cdots + x_n)$ soit de norme inférieure à 1 / 2ⁿ.

La série $\sum x_n$ est absolument convergente, donc comme E est un espace de Banach, elle converge. De plus,

$\Big|\Big| \sum_{n=0}^{+ \infty} x_n \Big|\Big| \leq \sum_{n = 0}^{+\infty} ||x_n|| \leq M \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = 2M$

Et, par passage à la limite :

$z = f\Big( \sum_{n=0}^{+\infty} x_n\Big) \in f(\overline{B_E(0,2M)}) \subset f(B_E(0,3M))$

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Conséquences

Théorème d'isomorphie de Banach

Le théorème de Banach-Schauder a une conséquence fondamentale (en fait, il s'agit d'une forme équivalente du théorème, et non d'un résultat plus faible), appelée théorème d'isomorphie de Banach, théorème de Baire-Banach ou plus simplement théorème de Banach :

Si f est une application linéaire bijective continue entre deux espaces de Banach, alors f est un homéomorphisme.

Théorème du graphe fermé

Article détaillé : Théorème du graphe fermé.

Le théorème de Banach-Schauder est également à l'origine d'un puissant critère de continuité des applications linéaires entre deux espaces de Banach, il s'agit du théorème du graphe fermé :

Soit E et F deux espaces de Banach, et f une application linéaire de E dans F. f est continue si et seulement si son graphe est une partie fermée de $E \times F$.

Supplémentaire topologique

Article détaillé : Sous-espace supplémentaire.

Dans un espace vectoriel topologique, deux sous-espaces supplémentaires algébriques sont dits supplémentaires topologiques lorsque les projecteurs associés sont continus. Une condition nécessaire pour cela est que les deux sous-espaces soient fermés. Dans un espace de Banach, elle est suffisante. Ce résultat est la conséquence de la proposition suivante, utilisée par exemple pour démontrer des propriétés d'orthogonalité dans un espace de Banach.

• Soient E un espace de Banach, F₁ et F₂ deux sous-espaces vectoriels fermés tel que leurs somme F soit fermée. Alors il existe une constante positive C telle que tout x de F admette une décomposition de la forme x = x₁ + x₂ avec x₁ élément de F₁, x₂ élément de F₂ et :

$\|x_1\|\le C\|x\|\quad\text{et}\quad \|x_2\|\le C\|x\|$

La proposition précédente admet le corollaire suivant :

• Avec les mêmes notations que la proposition précédente, il existe une constante D telle que la distance entre un élément x de E et l'intersection de F₁ et F₂ soit majorée selon la formule suivante :

$d(x,F_1\cap F_2) \le D\Big(d(x,F_1)+d(x,F_2)\Big)\;$

Ce corollaire est aussi utilisé pour établir des propriétés d'orthogonalité^[1].

Démonstrations

• Soient E un espace de Banach, F₁ et F₂ deux sous-espaces vectoriels fermés tel que leurs somme F soit fermée. Alors il existe une constante positive C telle que tout x de F admette une décomposition de la forme x = x₁ + x₂ avec x₁ élément de F₁, x₂ élément de F₂ et : $\|x_1\|\le C\|x\|\quad\text{et}\quad \|x_2\|\le C\|x\|.$

L'espace F₁×F₂ est de Banach pour la norme suivante :

$\forall (x_1,x_2)\in F_1\times F_2 \quad \|(x_1,x_2)\|_{F_1\times F_2} = \max (\|x_1\|,\|x_2\|).$

L'application somme, de F₁×F₂ dans le sous-espace de Banach F de E, est linéaire, surjective et (par l'inégalité triangulaire) continue. Le théorème de Banach-Schauder montre alors que B_F1(0,1)+B_F2(0,1) est un ouvert de F, donc contient une boule B_F(0,ε) pour un certain ε>0. Il suffit alors de choisir C comme l'inverse de ε.

• Il existe une constante D telle que la distance entre un élément x de E et l'intersection de F₁ et F₂ soit soit majorée selon la formule suivante : $d(x,F_1\cap F_2) \le D \Big(d(x,F_1)+d(x,F_2)\Big).$

Soient ε un réel strictement positif et C la constante positive établie dans la proposition précédente. Pour tout vecteur x de E, il existe un vecteur y₁ dans F₁ et un y₂ dans F₂ tels que :

$\|x-y_1\|\le d(x,F_1)+\varepsilon\quad\text{et}\quad \|x-y_2\|\le d(x,F_2)+\varepsilon.$

La proposition précédente montre l'existence d'un x₁ dans F₁ et d'un x₂ dans F₂ tels que :

$y_1-y_2=x_1+x_2\; ,\quad \|x_1\|\le C\|y_1-y_2\|\quad\text{et}\quad \|x_2\|\le C\|y_1-y_2\|.$

L'égalité suivante montre que y₁ − x₁ est un élément de l'intersection de F₁ et F₂ :

$y_1-x_1=x_2+y_2 \quad \text{et}\quad y_1-x_1\in F_1,\quad x_2+y_2 \in F_2.$

On en déduit :

$\begin{align}d(x,F_1\cap F_2)&\le \|x-(y_1-x_1)\|\\ &\le \|x -y_1\| +\|x_1\|\\ &\le \|x -y_1\| + C\|y_1-y_2\|\\ &\le \|x -y_1\| +C\left(\|x - y_1\| + \|x-y_2\|\right)\\ &\le (1+C)\left(d(x,F_1) + d(x,F_2)\right)+(1+2C)\varepsilon.\end{align}$

La majoration précédente est vraie pour tout ε>0, ce qui démontre la proposition en choisissant D égal à 1 + C.

Exemple d'application

Soient $E=L^1(S^1)\,$ l'espace de Banach des fonctions intégrables sur le cercle, et $F=c_0(\mathbb{Z})\,$ l'espace des suites complexes indexées par les entiers relatifs et tendant vers zéro. L'application $f\mapsto \big(\widehat{f}(n)\big)_{n\in\mathbb{Z}}$ qui associe à la fonction f la suite de ses coefficients de Fourier est continue et injective de E dans F, mais n'est pas surjective. En effet, si tel était le cas, il existerait une constante $C>0\,$ telle que, pour toute fonction $f\in E$,

$\Vert f\Vert_1\le C\sup_{n\in\mathbb{Z}}\vert \widehat{f}(n)\vert$

En appliquant une telle inégalité à la suite des noyaux de Dirichlet $D_k\,$, on arrive à une contradiction. En effet, $\Vert D_k\Vert_1$ est d'ordre log(k) alors que les $\vert \widehat{D_k}(n)\vert$ sont bornés par 1.

Notes et références

1. ↑ Ce paragraphe ainsi que les démonstrations s'inspirent de la référence : Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions] p. 21-22