Noyau de Dirichlet

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En mathématiques, le n-ième noyau de Dirichlet – nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Dirichlet – est le polynôme trigonométrique défini par :

$D_n(x)=\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)$.

C'est donc une fonction 2π-périodique de classe $\mathcal{C}^\infty$. Elle vérifie de plus :

• si x n'est pas un multiple entier de 2π alors $D_n(x)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{\sin(x/2)}$,
• si x est un multiple entier de 2π alors D_n(x) = 2n + 1.

Le noyau de Dirichlet permet notamment d'améliorer la convergence des séries de Fourier. Il intervient aussi en optique, pour rendre compte des franges et des compositions d'ondes cohérentes.

Considérations élémentaires

Équivalence des deux écritures du noyau de Dirichlet

Lorsque e^ix = 1, c'est-à-dire lorsque x appartient à $\scriptstyle 2\pi\Z$, le noyau de Dirichlet est la somme de 2n + 1 termes chacun égaux à 1, et vaut donc 2n + 1.

Lorsque $e^{ix}\ne 1$, l'identité trigonométrique qui apparaît au début de l'article peut être établie par le calcul d'une somme d'une série géométrique de raison e^ix.

Rappelons que la somme partielle au rang n d'une série géométrique de raison r≠1 vaut

$\sum_{k=0}^n a r^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.$

Ici c'est une somme symétrique qui nous intéresse

$\sum_{k=-n}^n r^k=\sum_{k=0}^{2n} r^{-n}r^k=r^{-n}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r}.$

L'expression à gauche du symbole égal nous incite à penser que la somme est une fonction symétrique de r et 1/r. Mais dans l'expression à droite du symbole égal, il est difficile de diagnostiquer une telle symétrie par rapport à ces deux quantités. Le remède est de multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur par r^-1/2, pour obtenir

$\frac{r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r}=\frac{r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}.$

Dans le cas où r = e^ix nous avons:

$\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=\frac{e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}=\frac{-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}$

et alors « -2i » disparaît.

Variante.

Un autre guide pour le calcul peut être l'idée suivante : le calcul de la somme ou de la différence de deux complexes de même module se fait en introduisant l'angle moitié

$e^{i\alpha}-e^{i\beta}=2ie^{\frac i2(\alpha+\beta)}\sin \left(\frac12(\alpha-\beta)\right)$

On procède ainsi au numérateur et au dénominateur.

Propriétés du noyau de Dirichlet

• C'est un polynôme trigonométrique, donc une fonction $\mathcal C^\infty$, 2π-périodique ;
• il est pair ;
• sa valeur moyenne est 1 ;
• le comportement asymptotique de sa norme de la convergence en moyenne est :

$\|D_n\|_1=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |D_n(t)| d t =\frac4{\pi^2}\ln n+O(1)$.

Démonstration

L'idée générale est de se ramener à une fonction sinus cardinal. En effet, pour $|x|\leq \pi$,

$D_n(x)=\frac{2\sin (nx)}{x} + \left(\sin (nx) \left(\operatorname{cotan} \frac x 2-\frac2x\right)+\cos (nx)\right).$

On reconnaît dans le second terme de cette somme une fonction prolongeable par continuité en 0, donc continue, et bornée indépendamment de n. Dès lors, il suffit de montrer la propriété pour le premier terme de la somme qui est un sinus cardinal.

Pour ce dernier, il s'agit d'un résultat classique : on introduit la valeur moyenne du numérateur

$S=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |\sin t| d t = \frac2\pi.$

Alors

$\int_{-\pi}^\pi \frac{|\sin (nx)|}{x}dx =2\int_0^{n\pi} \frac{|\sin u|}{u}du = 2 S \ln (n\pi) +O(1)$

La démonstration, se faisant par intégration par parties ou comparaison série-intégrale, est détaillée dans l'article sinus cardinal.

Opérateur associé

Le n-ième terme de la série de Fourier d'une fonction 2π-périodique et intégrable f s'écrit :

$S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) D_n(x-t) dt = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t) f(x-t) dt=(D_n*f)(x)\,$ ;

L'identité précédente est un produit de convolution, ou l'application d'un opérateur à noyau.

C'est à partir de cette expression et des propriétés du noyau de Dirichlet qu'on démontre le théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.

Cet opérateur est un opérateur borné sur l'espace des fonctions continues, dont la norme d'opérateur est majorée par $\|D_n\|_1$.

En spécialisant l'étude en un point x particulier, l'application $x\mapsto S_n(f)(x)$ a pour norme d'opérateur $\|D_n\|_1$ lui même, qui tend vers l'infini avec n. À l'aide du théorème de Banach-Steinhaus, on peut en déduire qu'il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge au point x.

Introduction au formalisme des distributions

Le noyau de Dirichlet est 2π fois la somme d'ordre n du développement en séries de Fourier d'une « fonction », en distribution, de période 2π donnée par

$\delta_p(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty\delta(x-2\pi k)$

où δ est la fonction delta de Dirac, qui n'est pas vraiment une fonction, dans le sens d'application d'un ensemble vers un autre, mais est plutôt une «fonction généralisée», aussi appelée une distribution. En d'autres termes, le développement en série de Fourier de cette « fonction » s'écrit

$\delta_p(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}=\frac{1}{2\pi}\left(1+2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx)\right).$

Cette « fonction périodique delta » est l'élément neutre pour le produit de convolution défini sur l'ensemble des fonctions de période 2π par

$(f*g)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)g(x-y)\,dy.$

Autrement dit,

pour toute fonction f de période 2π, f * δ_p = δ_p * f = f

Le produit de convolution de D_n avec n'importe quelle fonction f de période 2π est égal à la somme d'ordre n du développement en série de Fourier de f, i.e., nous avons

$(D_n*f)(x)=(f*D_n)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)D_n(x-y)\,dy=\sum_{k=-n}^n \hat{f}(k)e^{ikx},$

où

$\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx$

est le k-ième coefficient de Fourier de f.