Transformee de Fourier


Transformee de Fourier

Transformée de Fourier

En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences qui forment son spectre. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'intégrale. L'analyse non standard permet de la présenter sous forme d'une série et justifie le point de vue intuitif. Séries et transformation de Fourier constituent les deux outils de base de l'analyse harmonique.

Sommaire

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables

La transformée de Fourier \mathcal{F} est une opération qui transforme une fonction intégrable sur \R en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si f\ est une fonction intégrable sur \R, sa transformée de Fourier est la fonction \mathcal{F}(f)=\hat f donnée par la formule :

\mathcal{F}(f):\xi\mapsto \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, e^{-i \xi x}\, dx

Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformée de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs numériques. Par exemple, certains électroniciens utilisent ainsi :

\mathcal{F}(f):\nu \mapsto \hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-i 2\pi\nu t}\, dt

avec t en secondes ν la fréquence (en s − 1).

Certains physiciens utilisent pour des raisons de symétrie avec la transformée de Fourier inverse :

\mathcal{F}(f):\omega\mapsto \hat{f}(\omega) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-i \omega t}\, dt

avec t en secondes et ω la pulsation (en rad.s − 1). Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur {1 / \sqrt{2\pi}}, \mathcal{F}(f*g) \ne \mathcal{F}(f) .\mathcal{F}(g) , à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.

L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables f\ d'une variable réelle x\ . L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle \xi\ . Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on notera volontiers t à la place de x et \omega\ ou 2\pi \nu\ à la place de \xi\ qui seront les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira alors que f\ est dans le domaine temporel, et que \hat f est dans le domaine fréquentiel.

En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent en général la transformée directe avec un facteur 1/{2\pi}\ et la transformée de Fourier inverse sans aucun préfacteur.

Le cadre le plus naturel pour définir les transformées de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformée de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

La notation \mathcal{F}\{f\} peut aussi être remplacée par F(f) ou TF(ƒ). Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.

Il est également d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter f(\mathbf{x}) pour la fonction de départ et f(\mathbf{p}) pour sa transformée, faisant ainsi correspondre à x, y, z les variables duales p, q, r. Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entre position et moment. Cette notation n'est pas retenue ici.

On peut généraliser la définition de la transformée de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres groupes que le groupe additif \R. Ainsi, on peut la définir sur le groupe additif \R/\Z, c'est à dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les séries de Fourier — sur des groupes localement compacts, pas nécessairement commutatifs, et en particulier sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les groupes duaux.

Propriétés de la transformée de Fourier

Fonction Transformée de Fourier
Linéarité a.g_1(x) + b.g_2(x)\ a.\hat g_1(\xi) + b.\hat g_2(\xi)\
Contraction du domaine f(a.x) \ \frac{1}{|a|}.\hat{f}(\xi/a)\
Translation temporelle g(x+x_0)\ \hat g(\xi).e^{\mathrm{i} \xi x_0}\
Modulation dans le domaine temporel g(x).e^{\mathrm{i} x \xi_0} \hat{g}(\xi-\xi_0)
Produit de convolution f(x) \star g(x)\ \hat f(\xi) .\hat g(\xi)\
Dérivation g'(x)\

(voir conditions ci-dessous)

i \xi .\hat{g}(\xi)
Symétrie réelle et paire réelle et paire
réelle et impaire imaginaire pure et impaire
imaginaire pure et paire imaginaire pure et paire
imaginaire pure et impaire réelle et impaire
gaussienne gaussienne
  • La contraction dans un domaine (temporel, spatial ou fréquentiel) implique une dilatation dans l'autre. Un exemple concret de ce phénomène peut être observé par exemple sur un gramophone. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio (a<1), on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le domaine fréquentiel.
  • Si la fonction f est à support bornée ( i.e, si \exists x_0 \in \R, \forall |x| > x_0, f(x) = 0 ) alors \hat{f} est à support infini. Inversement, si le support spectral de la fonction \hat{f} est borné alors f est à support infini.
  • Si f est une fonction non-nulle sur un intervalle borné alors \hat{f} est une fonction non-nulle sur \C et inversement, si \hat{f} est non nulle sur un intervalle borné alors f est une fonction non nulle sur \C.
  • La transformée de Fourier de f est une fonction continue, de limite nulle à l'infini (théorème de Riemann-Lebesgue), notamment bornée par
\|\hat{f}\|_\infty\leq \|f\|_1
  • Par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de f.
  • Supposons que la fonction g:x\mapsto -\mathrm{i}xf(x) soit intégrable ; alors on peut dériver la formule de définition sous le signe d'intégration. On constate alors que la dérivée \hat{f}' est la transformée de Fourier de g.
  • Si f est dérivable, de limite nulle à l'infini et si la dérivée de f est intégrable, alors \widehat{f'}(\xi)=\mathrm{i}\xi \hat{f}(\xi) est la transformée de Fourier de la dérivée de f .

On peut résumer les deux dernières propriétés : notons D l'opération

Df=\frac{1}{\mathrm{i}} f',

et M la multiplication par l'argument:

(Mf)(x)=xf(x), \quad (M\hat f)(\xi)=\xi \hat f(\xi).

Alors, si f satisfait des conditions fonctionnelles convenables, \widehat{Df}=M\hat f et \widehat{Mf}=D\hat f. Ces formules symétriques sont très belles, et aussi très importantes.

On s'affranchira de ces conditions fonctionnelles en élargissant la classe des objets sur lesquelles opère la transformation de Fourier. C'est une des motivations de la définition des distributions.

Transformée de Fourier inverse

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable, la formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée \mathcal{F}^{-1}, est celle qui permet (sous conditions appropriées) de retrouver f à partir des données fréquentielles :

f(x) = {1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\xi)\, e^{+i\xi x}\, d\xi pour \hat f(\xi)\ = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, e^{-i \xi x}\, dx

Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif et le − i devenu i.

Dans le cas des définitions alternatives, la transformée de Fourier inverse devient:

Définition en fréquence: f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\nu)\, e^{+i 2\pi\nu t}\, d\nu pour \hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-i 2\pi\nu t}\, dt
Définition en pulsation: f(t) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\omega)\, e^{+i \omega t}\, d\omega pour \hat f(\omega)\ = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-i \omega t}\, dt



Extension à l'espace \R^n

Notons x\cdot \xi, le produit scalaire dans \R^n:

x\cdot \xi=\sum_{j=1}^n x_j\xi_j.

Si f est une fonction intégrable sur \R^n, sa transformée de Fourier est donnée par la formule

\hat f(\xi) = \int_{R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} x\cdot \xi}\, dx

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable, on a alors la formule d'inversion:

f(x) =\frac{1}{(2\pi)^n}  \int_{R^n} \hat f(\xi)\, e^{\mathrm{i}x\cdot \xi}\, d\xi.

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable

Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable sur \R.

On commence par un premier résultat.

Lemme — Soit h une fonction complexe deux fois continûment dérivable sur \R, qui vérifie l'estimation

\forall x\in \R, \quad|h(x)|\le C/(1+x^2) (où C est une constante),

et dont les deux premières dérivées sont intégrables. Ceci implique que la transformée de Fourier \hat h est bien définie et de carré intégrable. De plus, on a l'identité:

\int_\R |h(x)|^2\, dx=\frac{1}{2\pi}\int_\R|\hat h(\xi)|^2\, d\xi.


Une fois démontrée dans le lemme ci-dessus la formule de Plancherel pour une classe de fonctions suffisamment régulières, on étend par densité la transformation de Fourier à tout L^2(\R).


On a ainsi le théorème de Plancherel:

Théorème de Plancherel —  Soit f une fonction complexe sur \R et de carré sommable. Alors la transformée de Fourier de f peut être définie comme suit: pour tout p entier, on pose

f_p(x)=(f 1_{[-p,p]})(x)=\begin{cases}f(x) &\text{si } |x|\le p,\\0&\text{sinon}.\end{cases}

La suite des transformées de Fourier \hat f_p converge dans L^2(\R), et sa limite est la transformée de Fourier \hat f, c'est-à-dire

\lim_{p\to\infty}\int_\R|\hat f(\xi)-\hat f_p(\xi)|^2\, d\xi=0.

De plus on a l'identité:

\int_\R|f(x)|^2\, dx =\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat f(\xi)|^2 d\xi.

De façon similaire, si on pose g_p(x)=\int_{-p}^p \hat h(\xi)e^{2\mathrm{i}\pi x\xi}\, d\xi, les gp convergent en moyenne quadratique vers f



Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L2, qui est une isométrie, à condition de faire un changement d'échelle:

\|f/\sqrt {2\pi}\|_2 = \|\hat{f}\sqrt {2\pi}\|_2.

En physique, on interprète le terme |\hat{f}(\xi)|^2 figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance.


La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. Sur l'intersection L^1(\R)\cap L^2(\R) des domaines de définition, on montre à l'aide du théorème de convergence dominée de Lebesgue que les deux définitions coïncident.

Lien avec le produit de convolution

La transformation de Fourier a des propriétés très intéressantes liées au produit de convolution. Ainsi :

  • \mathcal {F}(f*g) = \mathcal {F}(f)\,.\,\mathcal {F}(g)
  • Si  f,g \in L^1(\R), alors  f*g \in L^1(\R) et  \|f*g\|_{L^1} \le \|f\|_{L^1} \cdot \|g\|_{L^1}
  • Si  f \in L^1(\R) et  g \in L^2(\R), alors  f*g \in L^2(\R) et \|f*g\|_{L^2} \le \|f\|_{L^1} \cdot \|g\|_{L^2}

Transformation de Fourier pour les distributions tempérées

Liens avec d'autres transformations

Lien avec les transformations de Laplace

La transformée de Fourier d'une fonction f\ est un cas particulier de la transformée bilatérale de Laplace de cette même fonction définie par : \mathcal{L}_{bil}\{f\} (p) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-pt} dt avec p \in \C

On constate alors que \mathcal{F}\{f\} (\xi) = \mathcal{L}_{bil}\{f\} (i\xi) .


On peut également écrire ce lien en utilisant la transformée de Laplace "usuelle" par :

\mathcal{F}\{f\}(\xi) = \mathcal{L}\{f^+\}(+i\xi) + \mathcal{L}\{f^-\}(-i\xi)

où les fonctions f^+\ et f^-\ sont définies par :

f^+(t) = f(+t)\ si t ≥ 0 et 0 sinon.
f^-(t) = f(-t)\ si t ≥ 0 et 0 sinon.

Lien avec les séries de Fourier

Parallèle formel

La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration x est remplacée par nΔx, n étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. On a alors

\hat f(k)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty f(n)e^{-i2\pi kn\Delta t}.

On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale.

Transformée

On utilise les variables normalisées suivantes :F={f \over f_e}=f \Delta t = f|_{\Delta t=1}, Ω = eπF = 2πfΔt = ωδt | Δt = 1

Transformation de Fourier (analyse) Transformation inverse (synthèse)
X(f)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi fn\Delta t} x(n)=\int_{f_e} X(f)e^{i2\pi fn\Delta t}df
X(w)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i\omega n\Delta t} x(n)={1 \over 2\pi} \int_{\omega_2=2\pi f_e}X(w)e^{iwn\Delta t}dw
X(F)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi nF} x(n)=\int_1 X(f)e^{i2\pi nF}dF\,\!
X(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-in\Omega} x(n)={1 \over 2\pi}\int_{2\pi} X(\Omega)e^{in\Omega}d\Omega

Références

  • Jean-Michel Bony, Cours d'analyse, Editions de l'École Polytechnique
  • Srishti D. Chatterji Cours d'analyse, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes 1998 (ISBN 978-2880743468 )

Voir aussi

Lien externe

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