Geometrie algebrique


Geometrie algebrique

Géométrie algébrique

La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques à la rencontre de la géométrie et de l'algèbre (l'algèbre commutative en toute exactitude). Basiquement, elle est l'étude des variétés algébriques, des ensembles de points définis par des équations polynomiales. Elle s'intéresse plus généralement aux schémas.

Cette branche des mathématiques n'a pas grand chose à voir avec l'algèbre géométrique, qui porte sur l'usage de techniques issue de la géométrie élémentaire pour résoudre des problèmes d'algèbre comme la résolution d'une équation du second ou du troisième degré et des résultats d'arithmétique comme la valeur du nième nombre triangulaire.

Sommaire

Histoire

Les premiers travaux de cette nature remontent aux mathématiques arabes. Omar Khayyam proposa une méthode de résolution des équations cubiques par intersection d'un cercle et d'une parabole. Il combina la trigonométrie et les approximations fonctionnelles pour obtenir des méthodes de résolution géométriques des équations algébriques. Cette branche des mathématiques est maintenant appelée algèbre géométrique.

La « Géométrie » de Descartes, inaugurant l'étude des courbes algébriques, marque la deuxième grande étape dans la genèse de cette discipline[1].

À proprement parler, il faut attendre le début du vingtième siècle pour que la géométrie algébrique naisse comme partie de la géométrie à part entière. Son début fut initié par l'école italienne de la fin du XIXe siècle (Enriques, Chisini, Castelnuovo, Segre...). Ces géomètres étudiaient courbes et surfaces de l'espace projectif (réel et complexe). Ils introduisirent les notions de points voisins et points proches afin d'avoir une interprétation géométrique du théorème de Bezout. Le style assez libre de l'école italienne reste éloigné de la rigueur actuelle. Les travaux du français Emile Picard conduisirent au Groupe des diviseurs et au groupe qui porte son nom.

Voir aussi les travaux de Max Noether en Allemagne.

Après 1930, les écoles américaines (Zariski, Mumford...), allemandes (Noether, Brauer), russes (Kolmogorov)... et françaises (Weil, Chevalley...) développèrent sous une forme plus algébrique l'études des variétés sur un corps commutatif quelconque en utilisant essentiellement la théorie des anneaux.

Dans les années 1950 elle fut totalement transformée par les travaux de l'école française sous l'impulsion de Samuel, d'Henri Cartan, de Serre et d'Alexander Grothendieck.

En une décennie, le domaine se développa, répondant à des questions classiques sur la géométrie des variétés algébriques. Des applications furent très vite trouvées en théorie des nombres. Jean-Pierre Serre et Alexander Grothendieck établirent les bases de la théorie des faisceaux, et la notion de schéma s'imposa vers 1960.

La démonstration du théorème de Fermat-Wiles est un exemple très notable d'application à la théorie des nombres de concepts de géométrie algébrique : les courbes elliptiques, et en cela un des grands succès de la théorie.

Notes

  1. Dieudonné, « Cours de géométrie algébrique », vol. 1, chap.3.

Référence

  • Jean Dieudonné - Cours de géométrie algébrique (1974, 2 vol.), Pr. Universitaires de France, (ISBN 2-13032-711-7)

Applications

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