Ouvert (topologie)

Ouvert (topologie)
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En mathématiques, et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'une topologie. Il s'agit d'une notion fondamentale par sa transversalité dans presque tous les domaines des mathématiques.

Sommaire

Définition générale

Article détaillé : Espace topologique.

Si X est un ensemble on peut définir sur X une topologie T en prenant un ensemble T de parties de X vérifiant les trois propriétés suivantes :

  • X et l'ensemble vide appartiennent à T,
  • T est stable par intersection finie : U1U2 appartient à T dès que U1 et U2 appartiennent à T,
  • T est stable par réunion quelconque : pour tout ensemble I (fini ou infini) d'indices, \scriptstyle \bigcup_{i \in I}U_i appartient à T dès que tous les Ui appartiennent à T.

Par définition, un ensemble U est un ouvert de X pour cette topologie si et seulement si U est un élément de T : la topologie est donc l'ensemble des ouverts.

Les espaces topologiques les plus couramment étudiés sont munis de diverses structures supplémentaires :

Exemples

Approche intuitive dans la droite et le plan

Exemple : Les points (x, y) qui satisfont à l'équation x2 + y2 = r2 sont en bleu. Les points (x, y) qui satisfont à la relation x2 + y2 < r2 sont en rouge. Les points rouges forment un ensemble ouvert. L'union des points bleus et rouges forme un ensemble fermé.

Un ensemble ouvert (appelé aussi ouvert) de la droite ou du plan est un ensemble qui est vide ou qui présente la caractéristique suivante : en choisissant comme origine un point quelconque de l'ensemble, tous les points autour de celui-ci sont encore dans l'ensemble à condition de ne pas trop s'éloigner. Cela signifie que ce point est assez loin de tous les points n'appartenant pas à l'ensemble, ou encore, qu'il existe toujours une distance non nulle entre ce point et le complémentaire de l'ensemble (les points n'appartenant pas à l'ensemble).

Exemple :

  • Dans l'ensemble ℝ des nombres réels, l'intervalle X = ]0,1[, c'est-à-dire l'ensemble des réels x tels quel 0 < x < 1, est ouvert.
    Pour illustrer la définition, choisissons le point 0,99 (qui appartient à l'ensemble X). Tous les points à une distance de x inférieure ou égale à + 0,005 appartiennent encore à l'ensemble. En effet, tous ces réels y vérifient l'inégalité \scriptstyle0,985\le y\le0,995, et comme 0 < 0,985 et que 0,995 < 1, les réels y vérifient 0 < y < 1 et appartiennent bien à X. Pour démontrer que X est un ouvert, il faudrait faire le même raisonnement pour tous les points de X = ]0,1[, en ajustant au besoin la distance.

Contre-exemple :

  • Dans l'ensemble des réels, l'intervalle Y = ]0,1], c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels y tels que \scriptstyle0<y\le1, n'est pas ouvert.
    En effet, si on choisit le point 1 (qui appartient à l'ensemble Y), il n'y a aucun point supérieur à 1 et appartenant à l'ensemble ]0,1], même si on s'éloigne très peu de ce point, dans le sens positif.

L'ensemble des ouverts de la droite (respectivement du plan) est appelé la topologie de la droite (respectivement la topologie du plan). On peut montrer que les ouverts de la droite sont l'ensemble vide et les ensembles qui sont réunion finie ou infinie d'intervalles ouverts.

Ouverts dans un espace métrique

On peut généraliser cette notion intuitive d'ouverts à tout espace E dans lequel on peut définir une distance d, c'est à dire dans un espace métrique. Dans cet espace, une boule ouverte de centre x appartenant à E et de rayon r > 0 est l'ensemble des points de E dont la distance à x est strictement inférieure à r :

B(x,r)=\{ y\in E/\ d(x,y)<r\}.
Le point x est un point intérieur de S, car S contient un disque centré en x. Le point y n'est pas à l'intérieur de S, car aucun disque centré en y n'est entièrement contenu dans S.

Si S est une partie de E, on dit qu'un point x est un point intérieur de S s'il existe une boule ouverte centrée en x qui est contenue dans S.

Un sous-ensemble de points U de l'espaceE est dit ouvert lorsque tout point p élément de U est un point intérieur.

Cela signifie que U est un ouvert de E si pour chacun de ses points x, il contient également les points suffisamment proches de x : on peut entourer chaque point en restant dans l'ouvert, donc aucun point de U n'est au bord de U.

On remarque tout de suite qu'une boule ouverte est aussi un ouvert. Le nom de « boule ouverte » est donc cohérent avec la définition d'ouvert.

De plus,

  • L'ensemble vide et l'ensemble E sont des ouverts.
  • La réunion d'ouverts est un ouvert.
  • L'intersection de deux ouverts est un ouvert

Remarques :

  • Dans ℝ, pour un intervalle, la définition métrique d'ensemble ouvert coïncide avec l'appellation d'intervalle ouvert : les convexes de ℝ définis par des inégalités strictes. De plus les ouverts de ℝ sont les réunions disjointes au plus dénombrables d'intervalles ouverts.
  • Dans ℝ2, les ouverts définis ainsi coïncident avec ceux présentés dans la notion intuitive

Cet ensemble d'ouverts de E est appelé la topologie de l'espace métrique (E, d).

Ouverts de Kn

Un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps topologique K a une topologie canonique : il s'agit de la topologie la moins fine (ayant le moins d'ouverts) qui rende continues les formes linéaires (les fonctions linéaires de E dans K). Ainsi est ouvert pour cette topologie toute image réciproque d'un ouvert de K par une forme linéaire, ainsi que les intersections finies et les réunions d'ensembles de ce type.

Pour ℝn, elle est engendrée par les pavés ouverts : les ouverts sont les réunions (éventuellement infinies) de produits d'intervalles ouverts. Ces ouverts sont ceux de l'espace métrique (ℝn, d).

Topologie ouverte et topologie grossière

Le caractère ouvert d'une partie d'un ensemble dépend de la topologie qu'on se donne. La plupart des espaces n'ont pas de topologie canonique, mais souvent plusieurs topologies intéressantes.

N'importe quel ensemble est ouvert, pour une topologie suffisamment fine, alors qu'une partie non triviale n'est pas ouverte pour une topologie trop grossière. Exemples :

Ouverts de Zariski

Article détaillé : Topologie de Zariski.

En géométrie algébrique on définit des ouverts de Zariski sur divers espaces algébriques. Par exemple :

Propriétés et notions connexes

Intersections d'ouverts

Une intersection infinie d'ouverts n'est pas nécessairement un ouvert. Ainsi, par exemple, dans ℝ muni de sa topologie usuelle, l'intersection de tous les intervalles ouverts \scriptstyle I_n=]-1-\frac 1n,1+ \frac 1n[, pour n entier naturel non nul, est le segment [-1;1].

Ouverts et continuité

Soient deux espaces topologiques E et F. Une fonction \scriptstyle f:E \longrightarrow F est continue si l'image réciproque de tout ouvert de F est un ouvert de E. Si c'est l'image directe d'un ouvert qui est ouverte, on parle d'application ouverte.

Définitions associées

Fermé

Une partie d'un espace topologique (X,T) est fermée si son complémentaire dans X est un ouvert. Une partie peut très bien être à la fois ouverte et fermée, ou ni l'un ni l'autre.

Intérieur d'une partie

Toute partie S d'un espace topologique (X,T) contient au moins un ouvert : l'ensemble vide ; on définit l'intérieur de S comme l'union de tous les ouverts inclus dans S et on remarque que c'est le plus grand ouvert inclus dans S.

Voisinage d'une partie

Est appelé voisinage d'une partie A (non vide) d'une espace topologique E toute partie V de E contenant un ouvert U contenant A, c'est-à-dire tel que A\subset U\subset V.

Les voisinages d'une partie non vide constituent un filtre, c'est-à-dire que l'intersection d'un nombre fini de voisinages est un voisinage et qu'une partie qui contient un voisinage est un voisinage.

Connexité

Un espace X est dit connexe si les seules parties ouvertes et fermées de X sont X et l'ensemble vide. Autrement dit, dans un espace connexe le complémentaire d'une partie ouverte n'est jamais un ouvert, sauf si la partie ou son complémentaire est vide.

Ouverts et topologie

Il existe des définitions généralisées d'espaces topologiques où la notion de topologie n'est pas bâtie sur la notion d'ouvert. Pour ces approches, la propriété pour un ensemble d'être ouvert n'est pas topologiquement intrinsèque[1], d'autant plus que ces généralisations ne s'appuient pas sur la théorie des ensembles.

Références

  1. Antoine Appert, « Sur le meilleur terme primitif en topologie », dans Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques, 1982, p. 65 [texte intégral] 

Voir aussi


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