Polynôme en plusieurs indéterminées


Polynôme en plusieurs indéterminées

En algèbre, un polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans un anneau A commutatif unitaire (et souvent intègre) est un élément d'une structure d'algèbre, qui est une extension de l'algèbre des polynômes en une indéterminée. Il existe plusieurs manières de définir ces polynômes. La plus simple consiste à procéder par récurrence. Une fois la structure A[X1] construite, on considère l'algèbre A[X1][X2] des polynômes en une indéterminée X2 construite sur l'anneau A[X1] et on la nomme A[X1,X2]. En réitérant n fois, on obtient une algèbre de polynômes en n indéterminées, souvent notée A[X1,...,Xn].

Une autre méthode consiste à généraliser le mode de construction de A[X]. On considère tout d'abord un ensemble d'indices I, et N(I) l'ensemble des applications de I dans N à support fini, c'est-à-dire nulle partout, sauf peut-être sur un ensemble fini de points de I. Cet ensemble dispose avec l'addition d'une structure de monoïde. Notons alors A[I], la A-algèbre du monoïde N(I), c'est-à-dire l'ensemble des applications de N(I) à valeurs dans A et à support fini. Lorsque la structure A[I] est équipée d'une bonne multiplication(qui n'est pas la multiplication naturelle), cela permet de considérer A[I] comme une A-algèbre généralisant l'algèbre des polynômes à coefficients dans A. A[I] est en fait A(N(I)), c'est l'algèbre des polynômes à indéterminées quelconques indicées par I.

Si, dans le cas fini, les deux méthodes sont équivalentes, elles présentent chacune des avantages. La première est plus simple, la deuxième est à la fois plus générale et plus riche. Elle est plus générale car l'ensemble d'indices I n'est pas nécessairement fini ou même dénombrable, ce qui permet de construire des algèbres plus vastes. Elle est aussi plus simple pour établir les propriétés universelles dont dispose l'algèbre. Par exemple, la première construction, dans le cas de l'anneau A[X1,X2], donne un rôle différent à X1 et X2, pourtant les anneaux A[X1,X2] et A[X2,X1] sont isomorphes.

Dans la suite de l'article A désigne un anneau commutatif unitaire (et parfois intègre). Seule, cette configuration est étudiée ici. Le terme de A-algèbre désigne une algèbre associative, commutative et unifère.

Sommaire

Deux indéterminées

Construction par récurrence

Considérons l'anneau des polynômes A[X1][X2], c'est-à-dire l'anneau des polynômes en une indéterminée X2, construit sur l'anneau A[X1], c'est-à-dire l'anneau des polynômes en une indéterminée et à coefficients dans A. L'article Construction des polynômes en une indéterminée, montre que c'est un anneau et un A[X1]-module de base (X2n), si n décrit l'ensemble des entiers positifs N. Un élément P de ce module s'écrit, si n est le degré du polynôme, vu comme un polynôme à une indéterminée à coefficients dans A[X1]:

P = \sum_{j= 0}^n P_j(X_1)X_2^j\quad\text{avec}\quad P_j(X_1)\in \mathbb A[X_1]

Si m est le degré maximal des polynômes Pj(X1) coefficients de P, il existe une famille d'éléments de A (aij) pour i variant de 0 à m et j de 0 à n tel que :

P = \sum_{j= 0,\;i=0}^{j=m,\;i=n} a_{ij}X_1^iX_2^j

La structure A[X1] contient, par identification, l'anneau A et l'anneau A[X1][X2] dispose naturellement d'une multiplication externe de AxA[X1], définie par l'égalité suivante, si λ est un élément de A :

\lambda P = \sum_{j= 0}^n (\lambda P_j(X_1))X_2^j\;

Ce qui s'écrit encore, d'après les propriétés du A-module A[X1].

\lambda P = \sum_{j= 0,\;i=0}^{j=m,\;i=n} (\lambda a_{ij})X_1^iX_2^j

On en déduit, que A[X1][X2] dispose d'une structure de A-algèbre associative que l'on appelle A-algèbre des polynômes en deux indéterminées à coefficients dans A et que l'on note A[X1,X2] si les deux indéterminées sont symbolisées par les lettres X1 et X2[1].

Construction par un monoïde d'indices

Une autre méthode de construction consiste à calquer le raisonnement utilisé pour les polynômes en une indéterminée, cette fois non pas sur une suite mais sur une famille à double indice. Soient S un ensemble à deux éléments et M l'ensemble des fonctions de S dans N, l'ensemble des entiers positifs. On note Y1mY2n la fonction de M qui vaut m sur le premier élément de S et n sur le deuxième. La structure de monoïde de N confère à M une structure de monoïde, que l'on note multiplicativement :

\forall m_1,m_2,n_1,n_2 \in \mathbb N \quad Y_1^{m_1}Y_2^{n_1}\cdot Y_1^{m_2}Y_2^{n_2} = Y_1^{m_1 + m_2}Y_2^{n_1+n_2}

Soit A(M) l'ensemble des fonctions de M dans A à support fini, c'est-à-dire nulles partout sauf peut-être sur un ensemble fini de points de M. Par construction, l'ensemble A(M) hérite d'une structure de A-module libre de base Y1mY2nn et m décrivent chacun l'ensemble N. Ici . Autrement dit, Y1mY2n est identifiée à la fonction de M dans A, nulle partout sauf en Y1mY2n, où elle est égale à 1, l'élément neutre de la multiplication de A. Pour un élément P de A(M), il existe deux entiers n et m et une unique famille (aij) pour i variant de 0 à m et j de 0 à n d'éléments de A tel que :

P = \sum_{j= 0,\;i=0}^{j=m,\;i=n} a_{ij}Y_1^iY_2^j

Il existe une bijection Φ entre la structure A[X1,X2] construite au paragraphe précédent et A(M) qui est aussi un morphisme pour l'addition et la multiplication externe. Cette bijection Φ associe X1m la fonction Y1m, et à X2n la fonction Y2n, pour tout n et m entiers positifs. La multiplication du monoïde M se prolonge de manière unique en une multiplication sur A(M). Avec les notations suivantes, si i, j, k, l, r et s sont six indices décrivant N et (b kl) une famille à support fini de A(M) :

\text{si}\quad P = \sum_{i,j} a_{ij}Y_1^iY_2^j,\quad Q = \sum_{k,l} b_{kl}Y_1^kY_2^l\quad\text{alors}\quad P\cdot Q = \sum_{r,s}\left(\sum_{i+k=r,\;j+l=s} a_{ij}b_{kl}\right)Y_1^rY_2^s

On retrouve la multiplication interne de la structure précédente, le morphisme Φ est un automorphisme de A-algèbre, qui confère à A(M) muni de sa multiplication, une structure de A-algèbre.

Les deux constructions sont équivalentes et définissent la même structure[2].

Définitions

Il devient possible de présenter une définition de la structure de A-algèbre des polynômes en deux indéterminées à coefficients dans A.

  • Une A-algèbre B disposant de deux éléments canoniques appelées indéterminées et notés ici X1 et X2 est qualifiée de A-algèbre des polynômes en deux indéterminées si le monoïde multiplicatif M de base canonique (X1, X2) est une base de B considéré comme un A-module. On le note indifféremment A[X1,X2], A[M] ou encore A[S] si S est la paire {X1,X2}[3],[4].

Dire que (X1, X2) est une base du monoïde revient à dire que tout élément de M s'écrit de manière unique comme produit de puissances de X1 et de X2. Ainsi, pour tout élément de M il existe deux entiers positifs n et m tel que l'élément soit égal à X1mX2n, et si m, n, p et q sont 4 entiers positifs, l'égalité X1mX2n = X1pX2q a lieu si, et seulement si les couples (m, n) et (p, q) sont égaux. L'existence d'une A-algèbre des polynômes en deux indéterminées est assurée par les constructions des deux paragraphes précédents.

Certaines définitions données pour le polynôme en une indéterminée se généralisent, un monôme est le produit d'un élément de A par un élément de M, l'élément de A est appelé coefficient. Le degré d'un monôme colinéaire à X1mX2n désigne l'entier m + n. Le degré d'un polynôme est égal au degré de son monôme de plus haut degré, sauf si le polynôme est nul et on dit que son degré est égal à moins l'infini. La constante d'un polynôme correspond au coefficient du terme X10X20, polynôme composé d'un unique terme colinéaire à X10X20 est encore appelé polynôme constant. En revanche les termes de polynôme unitaire ou monôme dominant n'ont plus de sens.

Certaines identifications sont immédiates, par exemple l'anneau des polynômes constants s'identifie à A, la sous-algèbre des polynômes de A[X1,X2] engendré par X1 (resp. X2) est identifiée à A[X1] (resp. A[X2]).

On dispose des trois propriétés :

  • Il existe une A-algèbre B des polynômes en deux indéterminées.

puis :

  • Il existe un unique isomorphisme de A-algèbres de A[X1,X2] dans A[Y1][Y2] qui à X1 (resp. X2) associe Y1 (resp. Y2).

enfin :

  • Il existe un unique automorphisme de A-algèbres de A[X1,X2], qui à X1 (resp. X2) associe X2 (resp. X1).

Ces trois propriétés sont les conséquences des deux constructions des paragraphes précédents. Ainsi, quelle que soit la manière dont on définit les générateurs de l'ensemble S, la structure finale est la même, à un isomorphisme près.

Construction de l'algèbre

Introduction

L'objectif est de généraliser la construction au cas où l'ensemble S des indéterminées est de cardinal quelconque. L'approche par récurrence s'avère impuissante si le cardinal de S est trop vaste. Si S est fini, elle ne présente aucune difficulté, dans le cas où S est dénombrable, les différentes identifications permettent de considérer l'union d'ensembles emboités :

A[S] = \bigcup_{n \in \mathbb N^*} A[X_1,\cdots ,X_n]\quad\text{avec}\quad \forall k \in \mathbb N^*\quad A[X_1,\cdots ,X_{k+1}] = A[X_1,\cdots ,X_k][X_{k+1}]

Cette union s'équipe naturellement de la structure de A-algèbre généralisant la définition du paragraphe précédent. Cette définition est pratique, par exemple pour montrer le caractère factoriel ou noethérien d'une algèbre de polynômes en n indéterminées. Elle est en revanche impraticable pour une configuration où S est de cardinal quelconque. La deuxième méthode est strictement équivalent à la première, si S est dénombrable, mais se prolonge aisément au cas de cardinal quelconque. Elle suppose néanmoins un peu de préparation[5].

On peut se poser la question de la pertinence d'une démarche qui n'offre, comme unique avantage, que de permettre la construction d'une algèbre de polynômes en un ensemble d'indéterminées non dénombrable. Cette situation n'est en effet pas si fréquente. En revanche, cette construction se fonde sur une démarche permettant une démonstration élégante de propriétés universelles sur les A-algèbres associatives, tel est le principal intérêt de la méthode[6].

Algèbre de polynômes

Une algèbre de polynômes est un cas particulier d'algèbre d'un monoïde. Soit S un ensemble d'indices et L le monoïde commutatif des fonctions à support fini de S dans N[7].

  • L'algèbre des polynômes à coefficients dans A construite sur S, est l'algèbre du monoïde L. On la note A[S].

On identifie ici l'ensemble S à une partie de A[S] de la manière suivante : A un élément s de S, on associe la fonction es de S dans N qui vaut zéro partout sauf en s ou elle vaut 1, l'élément neutre pour la multiplication dans N. Ainsi, es est un élément du monoïde L, et plus précisément un membre de la base canonique du monoïde. Ensuite on associe à l'élément es, l'élément Xs, correspondant à la famille d'éléments de A indexée par L, qui vaut zéro partout sauf en es ou elle vaut 1.

Dans le cas où S est un ensemble fini : {1,...,n}, les éléments de S s'identifient à Xs les éléments canoniques de A[S], on retrouve la notation A[X1,...,Xn] et le mode construction utilisée bâtir pour A[X1,X2]. La propriété universelle du paragraphe précédent prend la forme :

  • Soit B une A-algèbre et (bs) une famille d'éléments de B indexée par S. Il existe un unique morphisme φ de A-algèbre de A[S] dans B tel que :
\forall s \in S\quad f(X_s) = b_s

Toutes les A-algèbres ne sont pas des algèbres de polynômes. Considérons la A-algèbre B = A[X] / (X2). En tant que A-module, elle est libre de rang 2. Or une algèbre de polynômes est libre de rang 1 ou infini en tant que A-module. Donc B n'en est pas une.

Notations

Il existe trois manières de noter un polynôme :

  • La première correspond aux notations utilisées au paragraphe sur les polynômes en deux indéterminées. Le symbole Xs désigne la famille qui associe 0 à tous les éléments de N(S) à l'exception de es qui est associée à 1, le neutre de l'anneau A. Un monôme s'écrit comme le produit d'un élément de A et d'un monôme spécifique de la forme suivante, où la famille (ks) est presque nulle et à valeurs dans les entiers positifs :
\prod_{s \in S} X_s^{k_s}

Un polynôme P s'écrit de la manière suivante, utilisée dans les paragraphes précédents et l'algèbre est notée :

P = \sum_{k=0}^n a_k\prod_{s \in S} X_s^{k_s},\quad  a_k \in A,\; k_s \in \mathbb N \quad\text{et}\quad P \in A[(X_s)_{s \in S}]
  • La deuxième manière est plus concise. Elle consiste à noter k la famille (ks) des coordonnées d'un élément du monoïde dans la base canonique S et Xk le correspondant dans l'algèbre de l'élément du monoïde de coordonnées k dans la base canonique S. Si (ak) désigne une famille presque nulle de coefficients de A et indexée par N(S), les notations précédentes deviennent :
P = \sum_{k \in \mathbb N^{(S)}} a_kX^k,\quad a_k \in A \quad\text{et}\quad P \in A[S]
  • Une troisième approche est utilisée quand l'algèbre des polynômes est construite à partir d'une A-algèbre B et définie à l'aide du formalisme utilisé dans le paragraphe sur les polynômes en deux indéterminées. La lettre S désigne maintenant la base canonique de B. Il est fréquent que les éléments de cette base soient notés à l'aide de minuscules, on trouve la notation K[b1,...,bn] dans le cas d'un nombre fini d'indéterminées. Cette notation est aussi utilisée pour décrire n'importe quel image Φ d'un morphisme φ de A-algèbre de K[S] dans B. Ainsi, si bs désigne l'image de Xs par le morphisme φ, l'algèbre Φ est notée K[(bs)]. L'ensemble Z[√2, √5] désigne l'image de Z[X1, X2] par le morphisme qui à X1 (resp. X2) associe √2 (resp. √5). Dans ce cas particulier l'image Φ de n'est pas une Z-algèbre de polynômes car le monoïde sous-jacent n'est pas une base de l'algèbre. Enfin, les algébristes notent aussi A[M] l'ensemble A(M) muni de la structure de A-algèbre du monoïde M, cette notation est par exemple utilisée dans les articles Algèbre d'un monoïde et Algèbre d'un groupe fini[4].

Propriétés

Propriétés élémentaires

Certaines identifications ne dépendent pas du caractère fini de S. Ainsi :

  • Si S1 est une partie de S, l'algèbre A[S1] s'identifie à une partie de A[S].

La proposition, qui permet de construire l'algèbre des polynômes en un nombre fini d'indéterminée, se généralise :

  • Si S1 et S2 forment une partition de S, l'algèbre A[S] s'identifie à A[S1][S2]

La construction par récurrence, illustrée dans le cas des polynômes en deux indéterminées permet de construire un anneau en un nombre dénombrables d'indéterminées. Cette propriété se généralise aussi. Soit Si, où i est un indice élément d'un ensemble I totalement ordonnée. On suppose la suite croissante pour l'inclusion, c'est-à-dire que si i est plus petit que j, Si est inclus dans Sj. On note S l'union des Si.

  • L'union des algèbres A[Si] est égale à A[S].

Enfin :

  • Si I est un idéal de A et J l'idéal de A[S] engendré par I, A/I[S] s'identifie à A[S]/J.

Une conséquence de ces propriétés est :

  • Si A est un anneau intègre, A[S] l'est aussi.

Degré

Dans le cas d'une A-algèbre de polynômes en une indéterminée, l'application degré est un morphisme de monoïde de A[X], considéré comme un monoïde multiplicatif. Cette propriété est toujours vraie. Le degré d'un monôme est la somme des exposants des différentes indéterminées et le degré d'un polynôme est celui de son monôme de plus haut degré. Elle engendre une conséquence importante pour A[X], si les coefficients sont choisis dans un corps commutatif, l'anneau des polynômes est euclidien. Dans le cas d'un anneau de polynômes en plusieurs indéterminée, la proposition devient fausse. Si X et Y désigne deux indéterminées, l'idéal engendré par X et Y n'est pas principal, or un anneau euclidien est toujours principal.

Il est alors nécessaire de rechercher des propriétés plus faibles. Dans le cas d'une unique indéterminée, le morphisme du degré permet d'établir que si A est noethérien, l'anneau des polynômes l'est aussi (cf Anneau noethérien). Le fait que A[X1,...,Xn][Xn+1] soit isomorphe à l'anneau des polynômes en n + 1 indéterminées, montre par récurrence le résultat suivant, connu sous le nom de Théorème de la base de Hilbert :

  • L'anneau des polynômes en un nombre fini d'indéterminées, à coefficients dans A, est noethérien si A l'est.

Ce résultat est faux dans le cas d'un nombre infini d'indéterminées. Si (Xn), où n est un entier strictement positif, désigne une famille infinie d'indéterminées deux à deux distinctes, la suite (Jk) des idéaux engendrés par la famille (X1, ...,Xk) est strictement croissante et infinie, et l'anneau ne peut être noethérien.

La propriété universelle permet d'en conclure un résultat fondamental en théorie algébrique des nombres. Un anneau d'entiers algébriques d'un corps de nombre est l'image par un morphisme de A-algèbre d'un anneau de polynômes à coefficients dans Z, l'ensemble des nombres entiers, et dont le nombre d'indéterminées est fini. L'image réciproque d'une suite croissante d'idéaux par ce morphisme est une suite croissante dans un anneau noethérien, elle est stationnaire à partir d'un certain rang, en conséquence :

  • L'anneau des entiers algébriques d'un corps de nombre est noethérien.

Le morphisme du degré est encore utile si A possède une propriété plus forte. Si un anneau A est factoriel, A[X] l'est encore (cf l'article anneau factoriel). La construction par récurrence de l'anneau des polynômes en un nombre fini d'indéterminées montre que[8] :

  • L'anneau des polynômes en plusieurs d'indéterminées, à coefficients dans A, est factoriel si A l'est.

Cette fois-ci, la configuration est un peu différente, le nombre d'indéterminées n'est pas nécessairement fini. Un polynôme est toujours inclus dans un anneau ayant un nombre fini d'indéterminées et l'article Anneau factoriel montre que, dans ce cas là, la décomposition est bien unique. En revanche, le raisonnement précédent ne s'applique plus aux anneaux d'entiers algébriques, ainsi Z[i√3] n'est pas factoriel. En effet, les égalités 4=(1+i√3)(1-i√3)=2x2 correspondent à deux factorisations différentes en facteurs irréductibles d'un élément de Z[i√3].

Propriété universelle

Considérons, pour simplifier, l'anneau des polynômes à n variables A[X1, ...,Xn]. Soit B une A-algèbre (commutative unitaire). Alors

  • Pour tout n-uplet b1, ..., bn dans B, il existe un unique homomorphisme de A-algèbres de A[X1, ...,Xn] dans B qui envoie Xi sur bi pour tout i entre 1 et n.

Cette propriété, conjuguée au théorème de factorisation, est essentielle pour la construction d'homomorphismes d'une A-algèbre de type fini vers une autre A-algèbre.

Fonction polynomiale

Résultant

Discriminant

Ensemble algébrique

Article détaillé : ensemble algébrique.

Soit k un corps algébriquement clos. L'ensemble des zéros d'un polynôme f(X1, ...,Xn) à coefficients dans k est l'ensemble des points (x1, ...,xn) dans kn tels que f(x1, ...,xn)=0. Un ensemble algébrique dans kn est l'intersection des zéros d'une famille de polynômes dans k[X1, ...,Xn]. Du fait que l'anneau k[X1, ...,Xn] est noethérien, il suffit toujours de prendre une famille finie de polynômes. Les ensembles algébriques sont à la base de la géométrie algébrique.

Polynômes remarquables

Polynômes homogènes

Un polynôme homogène de degré d (entier positif ou nul) est une combinaison linéaire de monômes de degré d. Le polynôme nul est considéré comme étant de degré d pour tout d. Par exemple, en deux variables, 2X3+X2Y-5Y3 est homogène de degré 3; tandis que 2X3+X2Y3-5Y3 n'est pas homogène. Tout polynôme P de degré (total) d est, de façon unique, somme de polynômes homogènes P_0, ..., P_d de degrés respectifs 0, ...,d. On appelle alors P_i la composante homogène de degré i de P. Dans l'exemple non-homogène ci-dessus, la composante homogène de degré 3 est 2X3-5Y3, celle de degré 5 est X2Y3, les autres composantes homogènes sont nulles. Une autre manière d'exprimer la décomposition en composantes homogènes est de dire que A[X1, ...,Xn] est la somme directe des Ad[X1, ...,Xn], où d parcourt les entiers positifs ou nul et où Ad[X1, ...,Xn] est le sous-A-module des polynômes homogènes de degré d. On note que le produit de deux polynômes homogènes de degrés respectifs d, e est homogène de degré d+e, alors que leur somme n'est homogène que si d=e.

Identité d'Euler: Si P est homogène de degré d, alors

  •  dP = \sum_{1\le i\le n} X_i \partial P/\partial X_i.

Polynômes symétriques

Un polynôme à n variables est symétrique s'il est invariant par permutation de deux variables quelconques. Par exemple, en trois variables, X2Y+Y2Z+Z2X est symétrique, alors que X2Y+Y3Z+Z2X ne l'est pas. Contrairement aux polynômes homogènes, les polynômes symétriques sont stables par addition et multiplication, et forment un sous-anneau de l'anneau des polynômes.

Polynômes symétriques élémentaires: pour i entre 1 et n, le i-ième polynôme symétrique élémentaire Si est la somme des Xk1...Xki où les indices parcourent les entiers k1<...<ki entre 1 et n. Par exemple, le premier polynôme symétrique élémentaire est la somme des variables, et le dernier est le produit des variables.

Théorème fondamental sur les polynômes symétriques: Tout polynôme symétrique est, de façon unique, une expression polynômiale des polynômes symétriques élémentaires.

Polynômes de Newton: Soit d>0 un entier. Alors Pd:=X1d+...+Xnd est symétrique et est appelé le d-ième polynôme de Newton. L'expression de Pd en fonction des polynômes symétriques élémentaires (comme prédit par le théorème ci-dessus) peut être déduite indirectement par les identités de Newton:

  • Pd - S1Pd-1+S2Pd-2+...+(-1)n-1Sn-1Pd-n+1+(-1)nSnPd-n=0, si d > n - 1 et
  • Pd - S1Pd-1+S2Pd-2+...+(-1)d-1Sd-1P1+(-1)ddSd=0, si d < n.

Sur un corps de caractéristique nulle, ces relations permettent d'écrire les polynômes symétriques élémentaires comme des polynômes en les polynômes de Newton. En particulier, sur le corps des nombres rationnels, les polynômes de Newton engendrent l'anneau des polynômes symétriques.

Relations entre les zéros et les coefficients d'un polynôme. Soit P(X)=Xn+a1Xn-1+...+an un polynôme de degré n>0 à coefficients dans un corps. Soient t1,... , tn les zéros de P(X) (éventuellement répétés) dans un corps de décomposition de P(X). Alors

  • Si(t1,...tn)=(-1)iai pour tout i entre 1 et n.

Notes et références

Notes

  1. La démarche didactique consistant à présenter d'abord l'algèbre des polynômes en n indéterminées comme le fruit d'une construction par récurrence s'inspire de Ferrand 2005.
  2. Cette construction s'inspire de la méthode utilisée par A. Chambert-Loir, Algèbre commutative, université de Rennes 1, 2006 [lire en ligne] 
  3. Cette définition s'inspire du cours Anneaux de polynômes en plusieurs variables par P. Polo, de l'université Pierre et Marie Curie.
  4. a et b Les notations proviennent de A. et R. Douady, p. 140.
  5. La démarche du paragraphe s'inspire de A. et R. Douady, p. 138-156.
  6. Voir à ce sujet Ferrand 2005.
  7. Ce paragraphe reprend A. et R. Douady, p. 139.
  8. Ce paragraphe s'inspire de : Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], V, §6 (éd. ang. p. 126-128)

Références


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Polynôme en plusieurs indéterminées de Wikipédia en français (auteurs)

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