Segment (mathematiques)

Segment (mathématiques)

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Un segment, en géométrie, est une portion de droite. Un segment reliant deux points A et B est noté [A,B] et représente la partie de la droite (AB) qui se situe « entre » les points A et B.

Formalisation dans le cadre de la géométrie affine

Dans le cadre de la géométrie affine, le segment [A,B] peut recevoir une définition précise^[1] :

Définition — Le segment [A,B] est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs ou nuls de A et B.

Dans cette définition, on suppose que A et B sont éléments d'un même espace affine (de dimension finie ou infinie, et qui peut être d'ailleurs un espace vectoriel) et qu'il s'agit de géométrie affine sur le corps $\R$ des nombres réels ou éventuellement, à un niveau plus avancé, sur le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes.

Le barycentre ne changeant pas lorsque tous les coefficients sont multipliés par une même constante non nulle, on déduit immédiatement de cette remarque l'énoncé suivant^[2] :

Proposition — Le segment [A,B] est aussi l'ensemble des barycentres de A muni du poids t et B muni du poids 1 − t où t parcourt [0,1].

Lorsque l'on travaille dans un espace vectoriel, cette remarque fournit une description utile du segment [A,B], à savoir :

$[A,B]=\{ \ t \ A + (1-t) \ B \ \mid \ t \in \left[ 0 , 1 \right] \ \}\,.$

Si l'espace affine est de dimension finie, alors un segment est compact, tel que démontré selon la topologie d'un espace vectoriel de dimension finie.

Segments en géométrie euclidienne

En géométrie euclidienne, le segment est placé dans un espace euclidien E — ce peut être notamment un plan ou l'espace à trois dimensions muni de la distance familière entre points.

Soit A et B points quelconques de E. Le segment [A,B] est alors l'ensemble des points où l'inégalité triangulaire devient une égalité, ce qu'on peut écrire^[3] :

Proposition — Dans un espace euclidien E, $[A,B]=\{ M\in E\,\mid\,AM + MB = AB \}$.

Segments en géométrie hyperbolique

En géométrie hyperbolique, on peut de la même façon disposer du même concept intuitif de « segment » entre A et B représentant la portion de la droite hyperbolique (AB) située « entre » ces deux points, situé dans le plan hyperbolique (ou d'ailleurs dans un espace hyperbolique de n'importe quelle dimension).

En revanche, au moment d'écrire une définition plus précise, on ne dispose pas d'une notion similaire aux barycentres, et on est contraint de choisir une autre voie. Il existe bien sûr plusieurs manières de le faire, selon qu'on ait choisi de privilégier la structure topologique de l'espace hyperbolique, ou sa structure d'espace métrique, ou le concept de géodésique. En voici une^[4] :

Définition — Dans un espace hyperbolique, et pour $A\not= B$ deux points de cet espace, le segment [A,B] s'obtient en adjoignant A et B à celle des composantes connexes de $(AB)\setminus\{A,B\}$ qui est relativement compacte dans l'espace hyperbolique.

La caractérisation métrique donnée ci-dessus en géométrie euclidienne est également valide en géométrie hyperbolique^[5].

Segments dans le contexte des ensembles ordonnés

Dans un ensemble totalement ordonné, le mot segment peut être utilisé comme synonyme d'intervalle délimité par deux points (au sens large).^{[réf. nécessaire]}

Lorsqu'on l'applique à l'ensemble $\R$ des réels, cette définition est équivalente à la définition au moyen de barycentres.

Références

1. ↑ Claude Delode, dans Géométrie affine et euclidienne, Dunod, 2002, (ISBN 2100046438), p. 7 utilise précisément cette définition.
2. ↑ Claude Delode, op. cit. énonce cette prposition comme définition alternative, p. 223.
3. ↑ Cet énoncé est par exemple disponible sur le site Homeomath (consulté le 20 novembre 2007) (pour le plan euclidien familier).
4. ↑ C'est celle choisie par Alan F. Beardon, dans The Geometry of Discrete Groups, Springer-Verlag, 1983, (ISBN 3540907882), p. 135 (elle y est donnée dans le contexte de la géométrie plane).
5. ↑ C'est le théorème 7.3.2 de Beardon, op. cit., p. 135.

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