Treillis (ensemble ordonne)


Treillis (ensemble ordonne)

Treillis (ensemble ordonné)

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Le terme treillis provient de la forme du diagramme de Hasse associé à la relation d'ordre.

Un treillis (en anglais : lattice) est, en mathématiques, un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque couple d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure. On parle aussi d'espace réticulé.

Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée précédemment, l'autre algébrique.

Sommaire

Définition algébrique

Un treillis est un ensemble E muni de deux lois internes habituellement notées \vee et \wedge vérifiant :

Pour démontrer que E est un treillis en tant qu'ensemble ordonné, il faut définir une relation d'ordre généralement notée \subseteq de la manière suivante :

a\subseteq b \Leftrightarrow a \vee b = b

On peut montrer que cette relation est bien une relation d'ordre (éventuellement partielle). La propriété d'associativité assure la transitivité. La propriété d'idempotence assure la réflexivité. La définition même assure l'antisymétrie. Grâce aux deux propriétés d'absorption, on peut aussi montrer que

a \subseteq b \Leftrightarrow a \wedge b = a

On peut alors vérifier que,

  •  \sup(a, b) = a \vee b
  •  \inf(a, b) = a \wedge b

Ce qui assure que (E , \subseteq ) est bien un treillis au sens des ordres.

Définition par relation d'ordre

Un treillis est un ensemble E muni d'une relation d'ordre \subseteq vérifiant,  :

  • pour tous éléments a et b de E, il existe une borne supérieure et une borne inférieure à l'ensemble {a , b}

Pour montrer que E est un treillis algébrique, on remarque que la borne supérieure et la borne inférieure définissent alors deux lois internes :

  •  a \vee b = \sup(a, b)
  •  a \wedge b  = \inf(a, b)

Les propriétés de treillis algébrique pour ces deux lois découlent assez directement de la définition.

On définit donc indifféremment les treillis de façon algébrique ou par une relation d'ordre.

Exemples

  • L'ensemble des parties d'un ensemble muni de l'inclusion forme un treillis où la borne supérieure est l'union et la borne inférieure l'intersection.
  • Dans le même ordre d'idée, l'ensemble des ouverts d'un espace topologique (toujours muni de l'inclusion) forme un treillis. L'ensemble des ouverts réguliers (ouverts égaux à l'intérieur de leur adhérence) d'un espace topologique forme un treillis sans atomes (voir plus loin la définition d'atome).
  • L'ensemble des entiers naturels muni de son ordre usuel est un exemple de treillis incomplet : il n'admet pas lui-même de borne supérieure.
  • Soient f,g deux fonctions boréliennes sur R, intégrables pour la mesure de Lebesgue et vérifiant f<g. L'ensemble des fonctions boréliennes h comprises entre f et g est un treillis non complet qui devient complet si on identifie deux fonctions égales presque partout (attention ! la borne supérieure d'une famille de fonctions boréliennes peut être non mesurable ; lorsqu'on quotiente modulo l'égalité presque-partout, on regarde ce qu'on appelle une borne essentielle supérieure, laquelle, en revenant aux fonctions, majore presque-partout chaque élément de la famille).

Dualité

Si (E, \vee, \wedge, ≤) est un treillis, alors son treillis dual est (E, \wedge, \vee, ≥).

Théorème de dualité : Si un théorème T est vrai pour tous les treillis alors le théorème dual de T, obtenu en remplaçant toutes les occurrences de \vee par \wedge (et réciproquement) et toutes les occurrences de ≤ par ≥ (et réciproquement) est un théorème vrai pour tous les treillis.

Cas particuliers

Un ensemble ordonné dans lequel chaque couple d'éléments possède une borne supérieure (ou une borne inférieure) est un demi-treillis.

Un treillis E est complet si et seulement si pour tout sous-ensemble F de E, F possède une borne supérieure et une borne inférieure ; on dit aussi que E est un espace complètement réticulé.

Un treillis E est borné s'il possède un maximum et un minimum. En particulier tous les treillis complets sont bornés.

Si E est un treillis possédant un minimum que l'on note 0, un atome de E est un élément a\in E\setminus\{0\} tel que pour tout b\in E tel que b\leq a, on ait b\in\{0,a\}. Par exemple dans le treillis de l'ensemble des parties d'un ensemble, tous les singletons sont des atomes.

Un treillis est distributif si et seulement si la loi \vee est distributive sur la loi \wedge ou si la loi \wedge est distributive sur la loi \vee. En fait, les deux distributivités sont équivalentes, si un treillis en possède un type, il possède l'autre.

Un treillis est complémenté s'il admet un plus petit élément noté 0, un plus grand élément noté 1, et si chacun de ses éléments x possède un complément y vérifiant x \wedge y = 0 et x \vee y =1.

Bibliographie

Ressources disponibles en ligne:

  • Birkhoff, Garrett. Théorie et applications des treillis. Annales de l'institut Henri Poincaré, 11 no. 5 (1949), p. 227-240. [1]
  • Burris, Stanley N., et Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
  • Jipsen, Peter, et Rose, Henry. Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8.

Ouvrages de référence:

  • Donnellan, Thomas, 1968. Lattice Theory. Pergamon.
  • Grätzer, G., 1971. Lattice Theory: First concepts and distributive lattices. W. H. Freeman.
  • Davey, B.A., et Priestley, H.A., 2002. Introduction to Lattices and Order. Cambridge University Press.
  • Birkhoff, Garrett, 1967. Lattice Theory, 3rd ed. Vol. 25 of American Mathematical Society Colloquium Publications. American Mathematical Society.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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