Pentadecagone

Pentadécagone

Pentadécagone ou pentédécagone : polygone régulier de 15 côtés.

Construction à la règle et au compas

Comme on sait construire le triangle équilatéral et le pentagone régulier, on applique le théorème de Gauss :

3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par $\frac{2\pi}{15}$ la relation de Bezout 2 × 3 - 5 = 1, on obtient l'égalité : $2\frac{2\pi}{5} - \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{15}$

Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que $(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OG}) = \frac{4\pi}{5}$ , le point B tel que $(\overrightarrow{OG}, \overrightarrow{OB}) = -\frac{2\pi}{3}$ est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB.

En pratique on trace le pentagone régulier ADGJM (sens direct).

A partir du point G on trace le triangle équilatéral GBL (sens rétrograde).

En reportant 14 fois la longueur AB sur le cercle on obtient le polygone régulier ABCDEFGHIJKLMNP. Une telle construction a été proposée par Euclide.

Pentadécagones croisés

Le nombre de polygones réguliers croisés de n côtés est égal au nombre de nombres premiers avec n contenus dans la suite 2, 3..., (n-1)/2. Il y a trois pentadécagones croisés que l'on obtient en joignant les sommets de deux en deux, quatre en quatre ou sept en sept.

Construction avec une médiatrice

Construire le pentagone régulier ADGJM inscrit dans le cercle (c) de centre O.

Placer le point G' symétrique de G par rapport à O.

La médiatrice de [OG’] coupe le cercle (c) en deux points B et L, sommets du pentadécagone.

Justification

Le triangle OBG' est équilatéral car OB = OG’ comme rayons et OB = G’B car B est sur la médiatrice de [OG’].

L'angle $\widehat{MOA}$ de deux rayons du pentagone est de $\frac{2\pi}{5}$.

$\widehat{G'OA} = \frac 1 2 \widehat{MOA} = \frac{\pi}{5}$.

$\widehat{AOB} = \widehat{G'OB} - \widehat{G'OA} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{15}$, angle deux rayons du pentadécagone.

Construction au compas

Construire le pentagone régulier ADGJM de centre O.

Placer les points A', D', G', J', M' symétrique de A, D, G, J, M par rapport à O.

Les points du pentadécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A', D', G', J', M' passant par le centre O.

Justification

G'OB est un triangle équilatéral de côté égaux au rayon r du cercle circonscrit, $\widehat{G'OB} = \frac{2\pi}3$.

Comme ci-dessus on a: $\widehat{G'OA} = \frac 1 2 \widehat{MOA} = \frac{\pi}{5}$ (angle au centre du pentagone).

$\widehat{AOB} = \widehat{G'OB} - \widehat{G'OA} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{15}$ est l'angle au centre du pentadécagone et le point B est bien un sommet.

Voir aussi

• Livre IV des Éléments d'Euclide

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