Icosagone


Icosagone
Un icosagone régulier.

Un icosagone est un polygone à 20 côtés possédant 170 diagonales.

Sommaire

Caractéristiques d'un icosagone régulier

Si a est la longueur d'une arête.

Périmètre

\,P = 20 a

Aire

\,S = \frac {20 a^2} {4 \tan(\frac {\pi} {20})}

Apothème

\,H = \frac {2A} {P} = \frac {a} {2 \tan(\frac {\pi} {20})}

Rayon

\,R = \frac {H} {\cos(\frac {\pi} {20})} = \frac {a} {2 \sin(\frac {\pi} {20})}

Valeurs remarquables d'un icosagone régulier

Pour les angles au centre

Pour les angles internes

  • Angle interne: environ 162°
  • Somme des angles internes: 3 240°

Pour les angles externes

  • Angle externe: environ 198°
  • Somme des angles externes: 3 960°

Construction exacte d'un icosagone régulier à partir d'un rectangle d'or

  • La médiatrice de [AB] coupe le cercle Γ en C et en un autre point D.
  • Le cercle Γ' de centre H et de rayon HC coupe [OB] en E.
  • Ici, OC et AE représentent respectivement la largeur et la longueur d'un rectangle d'Or.
  • On reporte maintenant la longueur OE sur le cercle Γ à partir du point B (au compas) et on obtient le point M.
  • La médiatrice de [MB] coupe le cercle Γ en I.
  • L'arc de cercle BI est en fait la vingtième partie du cercle Γ. Le segment [BI] est donc un côté de l'icosagone régulier inscrit dans le cercle.
  • Il ne reste plus qu'à reporter cinq fois la longueur BI sur le cercle, et ce jusqu'au point C.
  • Il suffit maintenant de construire le symétrique des cinq points précédemment obtenus par rapport à (CO).
  • La construction du symétrique des dix points précédemment obtenus par rapport à (AB) permet alors d'obtenir la division du cercle en vingt parties égales.
  • Joindre enfin les vingt points pour tracer l'icosagone.

Voir aussi



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Icosagone de Wikipédia en français (auteurs)

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