- Octonion
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En mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non-associative des quaternions. Ils forment une algèbre à huit dimensions sur les réels. L’algèbre des octonions est généralement notée
.
En perdant l’importante propriété d’associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions. Malgré cela, les octonions gardent leur importance en algèbre et en géométrie, notamment parmi les groupes de Lie.
Sommaire
Historique
Les octonions ont été découverts en 1843 par John T. Graves, un ami de William Hamilton, qui les appela octaves. Ils furent découverts indépendamment par Arthur Cayley, qui publia le premier article sur le sujet en 1845. Ils sont souvent appelés octaves de Cayley ou algèbre de Cayley.
Définition
Chaque octonion est une combinaison linéaire à coefficients réels d’octonions unitaires
.
Autrement dit, chaque octonion
peut être écrit sous la forme
,
avec des coefficients réels
. L'ensemble de ces combinaisons linéaires est un espace vectoriel noté
, isomorphe à
.
Addition
L’addition des octonions se réalise en additionnant les coefficients correspondants, comme pour les nombres complexes et les quaternions :
.
Propriétés
L’addition des octonions est commutative :
,
,
et a un élément neutre, zéro, noté
:
.
Pour tout octonion
existe un octonion unique, noté
, tels que leur somme est nulle :
.
- Cet octonion, nommé opposé, s'obtient simplement en prenant l'opposé des coefficients réels de
.
Ainsi l'ensemble des octonions muni de l'addition et de l'opposé est un groupe commutatif.
Soustraction
La soustraction des octonions est alors l'opération simplement définie par :
.
Multiplication
La multiplication des octonions est alors complètement déterminée par la propriété de distributivité à droite et à gauche :
où
sont des octonions quelconques, et zéro l’élément absorbant, et par la table de multiplication des octonions unitaires ci-dessous :
. Dans la table ci-dessus, l’opérande de gauche est indiqué dans la première colonne, et l’opérande de droite est dans la première rangée. Le tableau n'est pas symétrique, ce qui signifie que cette multiplication n'est pas commutative.
La table de multiplication peut être définie entièrement par l'identité remarquable :
.
Plan mnémotechnique de Fano
Un moyen mnémotechnique pour se rappeler les produits des octonions unitaires est donné par le diagramme ci-contre.
Ce diagramme à 7 points et 7 droites (le cercle passant par
,
et
est considéré comme une droite) est appelé le plan de Fano (il s'agit en fait du plan projectif construit sur le corps à deux éléments Z/2Z). Les droites sont orientées dans ce diagramme. Les 7 points correspondent aux 7 éléments de base de
. Chaque couple de points distincts se trouve sur une droite unique et chaque droite traverse exactement 3 points.
Soit
un triplet ordonné de points situé sur une droite donnée avec l’ordre donné par la direction de la flèche. La multiplication est donnée par :
et
avec des permutations cycliques. Celles-ci opèrent de la manière suivante :
est l’élément neutre pour la multiplication,
pour chaque point
du diagramme définit complètement la structure algébrique des octonions.
Chacune des 7 droites génère une sous-algèbre de
isomorphe aux quaternions
.
Conjugué
Le conjugué d'un octonion
,
est donné par
.
La conjugaison est une involution de
et satisfait
(notons le changement dans l’ordre de succession).
Parties réelle et imaginaire
La partie réelle de l’octonion
est définie comme suit
et la partie imaginaire
de sorte que pour tout octonion
,
,
,
.
L’ensemble de tous les octonions purement imaginaires (dont la partie réelle est nulle) forme une sous-espace à 7 dimensions sur les réels de
, notée
, isomorphe à
. Il n'est pas une sous-algèbre parce que la multiplication d'octonions purement imaginaires peut être un réel.
L’ensemble de tous les octonions purement réels (dont la partie imaginaire est nulle) forme une sous-algèbre à 1 dimension de
, notée
, isomorphe à
.
Norme
La norme d’un octonion
est définie comme suit
Cette racine carrée est bien un nombre réel positif :
Cette norme correspond à la norme euclidienne sur
.
On a aussi:
,
,
(le carré de la partie imaginaire est un réel).
Inverse
L’existence d’une norme sur
implique l’existence d’un inverse pour chaque élément distinct de zéro dans
. L’inverse de tout
différent de zéro est donné par
Cela satisfait
.
L'ensemble
des octonions non nuls, muni de la multiplication et de l'inverse, est un magma non-commutatif et non-associatif.
Division
La division des octonions
et
est alors définie par l’égalité suivante :
, avec
différent de zéro.
Construction de Cayley-Dickson
A l’instar des quaternions assimilés aux couples de nombres complexes (et des nombres complexes assimilés aux couples de nombres réels), les octonions peuvent être traités sous forme de couples de quaternions.
L’addition de couples de quaternions
et
est définie par :
La multiplication de 2 couples de quaternions
et
est définie comme suit :
où
est le conjugué du quaternion
.
La multiplication d'un nombre réel
par un couple de quaternions
est définie par :
, d’où
On peut alors définir l’algèbre des couples de quaternions par l'ensemble
des combinaisons linéaires à coefficients réels des couples de quaternions unitaires suivants :
.
Cet ensemble, muni des opérations ci-dessus forme une algèbre à 2 dimensions sur l'ensemble des quaternions, et à 8 dimensions sur l'ensemble des nombres réels.
Soit
l'opération inversible qui associe à tout quaternion de coordonnées réelles
l'octonion de mêmes coordonnées dans la sous-algèbre générée par les octonions unitaires
.
On montre facilement que l’opération I suivante, qui associe tout couple de quaternions
de
à un octonion de
telle que :
est bijective.
Il s'ensuit que
est isomorphe à
.
On démontre alors que les additions et multiplications d’octonions
et
dans
sont équivalentes aux opérations ci-dessus de couples de quaternions
et
dans
:
,
,
,
.
Par suite, on pourra simplement définir les octonions au moyen de couples de quaternions, en incluant les quaternions dans l'ensemble des octonions munis des opérations de la construction de Cayley-Dickinson et des égalités suivantes :
.
(dans ce cas, l’isomorphisme I ci-dessus qui devient une simple identité.)
Propriétés
La multiplication des octonions n'est ni commutative :
ni associative :
.
Elle satisfait une forme plus faible que l’associativité : l’alternativité. Cela signifie que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques
est associative :
.
On peut montrer que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques de
est isomorphe à
,
, ou
, qui sont tous associatifs.
Les octonions partagent une propriété importante avec
,
, et
: la norme sur
qui satisfait
Cela implique que les octonions forment une algèbre de division normée non-associative. Les algèbres de plus haute dimensions définies par la construction de Cayley-Dickson (par exemple les sédénions) ne satisfont pas cette propriété : elles ont toutes des diviseurs de zéro et leurs multiplications ne satisfont plus la conservation des normes.
Il s’avère que les seules algèbres de division normées sur les réels sont
,
,
et
. Ces 4 algèbres forment aussi les seules algèbres de division alternatives, de dimension finie sur les réels.
La multiplication des octonions n’étant pas associative, les éléments de
distincts de zéro ne forment pas un groupe algébrique. Ils forment un quasigroupe.
Automorphismes
Un automorphisme
des octonions est une transformation linéaire inversible de
sur lui-même qui vérifie
.
L’ensemble des automorphismes de
forme un groupe noté
. Le groupe
est un groupe de Lie réel simplement connexe et compact, de dimension 14. Ce groupe est le plus petit des 5 groupes de Lie exceptionnels.
Sous-algèbres particulières
On vérifie aisément que toutes les opérations dans la sous-algèbre des octonions dont la partie imaginaire est nulle sont équivalentes aux opérations dans l’algèbre des réels. De même la sous-algèbre des octonions dont toutes les dimensions réelles sauf les 2 premières sont nulles est équivalente à l’algèbre des complexes. De même la sous-algèbre des octonions dont toutes les dimensions réelles sauf les 4 premières sont nulles est équivalente à l’algèbre des quaternions.
Par conséquent on identifiera les nombres réels, complexes et quaternions comme des octonions particuliers, qu’on notera de la même façon :
.
Voir aussi
Liens externes et références
- The Octonions - un article de John C. Baez
- Octonion Fractals - fractales générées par l’utilisation des octonions
- Dictionnaire des nombres
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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Octonion de Wikipédia en français (auteurs)
См. также в других словарях:
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