Conjugue


Conjugue

Conjugué

En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.

Sommaire

Définition

Le conjugué d'un nombre complexe z = a + bi\,, où a et b sont réels, est \bar z = a - bi\, (lu « z barre ») mais est très souvent noté aussi z * ,

Dans le plan, le point d'affixe \bar z est le symétrique du point d'affixe z\, par rapport à l'axe des abscisses.

Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

\begin{array}{r|ccc} c:& \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C}  \\ & z & \longmapsto & \overline{z} \end{array}

La conjugaison est une opération linéaire qui est de plus continue.

Propriétés

On prend (z,w)\in \mathbb{C} ^2.

  • \overline{z+w} = \bar z + \bar w
  • \overline{zw} = \bar z \times \bar w
  • \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w} si w\, est non nul
  • si \operatorname{Im}\left(z\right) = 0 alors \bar z = z
  • \left|\bar z\right| = \left|z\right|
  • z \overline{z} = \left|z\right|^2
  • z^{-1} = {\overline{z} \over {\left|z\right|^2}} pour z non-nul.

Quaternions

Le conjugué du quaternion q = a + bi + cj + dk\, est q^* = a - bi - cj - dk\,.

Propriété

  • q\cdot q^* = a^2+b^2+c^2+d^2\,
  • \frac{1}{q} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\cdot q^*\,
  • On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Conjugu%C3%A9 ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Conjugue de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • conjugué — conjugué, ée [ kɔ̃ʒyge ] adj. et n. • 1690; « marié » 1596; de conjuguer 1 ♦ Joint, combiné avec. Influences conjuguées. La force conjuguée à, avec l intelligence. L action conjuguée du vent et de la pluie. Grâce à leurs efforts conjugués. 2 ♦… …   Encyclopédie Universelle

  • conjugué — conjugué, ée (kon ju ghé, ghée) part. passé. 1°   Terme de gravure. Réuni. Pierres conjuguées, pierres gravées où les têtes sont représentées sur le même profil.    Terme de géométrie. Diamètres conjugués, diamètres liés l un à l autre par une… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • conjugué — Conjugué, [conjugu]ée. part …   Dictionnaire de l'Académie française

  • Conjugué — Pour les articles homonymes, voir Conjugaison (homonymie). En mathématiques, le conjugué d un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée. Sommaire 1 …   Wikipédia en Français

  • Conjugue isogonal — Conjugué isogonal Pour les articles homonymes, voir Isogonal. Sommaire 1 Droites antiparallèles 2 Droites isogonales …   Wikipédia en Français

  • Conjugué Isogonal — Pour les articles homonymes, voir Isogonal. Sommaire 1 Droites antiparallèles 2 Droites isogonales …   Wikipédia en Français

  • Conjugué d'un nombre complexe — Conjugué En mathématiques, le conjugué d un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée. Sommaire 1 Définition 2 Propriétés 3 Q …   Wikipédia en Français

  • Conjugué isogonal — Pour les articles homonymes, voir Isogonal. Sommaire 1 Droites antiparallèles 2 Droites isogonales 2.1 …   Wikipédia en Français

  • Complexe conjugué — Conjugué En mathématiques, le conjugué d un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée. Sommaire 1 Définition 2 Propriétés 3 Q …   Wikipédia en Français

  • Acide Conjugué — En chimie, l acide conjugué d une base est l espèce chimique (ion ou molécule) qui forme avec cette base un couple acide/base. L acide conjugué d une base forte est un acide très faible ou nul (les couple hydroxyde/eau, hydrure/hydrogène et… …   Wikipédia en Français