Nombre Composé


Nombre Composé

Nombre composé

Un nombre composé est un nombre entier positif qui possède un diviseur positif autre que un ou lui-même. Par définition, chaque entier plus grand que un est soit un nombre premier, soit un nombre composé. Les nombres zéro et un ne sont considérés ni premiers ni composés.

Par exemple, l'entier 14 est un nombre composé parce qu'il a les nombres 1, 2, 7 et 14 pour diviseurs (quatre diviseurs). Remarquons qu'un carré parfait a toujours un nombre impair de diviseurs (9 a comme diviseurs 1, 3, 9) tandis qu'un entier qui n'est pas un carré parfait a toujours un nombre pair de diviseurs.

Tous les entiers naturels pairs, hormis zéro et deux, sont composés. La méthode permettant de lister tous les entiers naturels impairs composés est appelée crible de Sundaram.

Propriétés

  • Tous les nombres pairs plus grands que 2 sont composés.
  • Le plus petit nombre composé est 4.
  • Chaque nombre composé peut être écrit comme un produit de nombres premiers (non nécessairement distincts).
  • En outre, (n-1)! \,\,\, \equiv \,\, 0 \pmod{n} pour tous les nombres composés n > 5.
Article détaillé : Théorème de Wilson.

Généralisation aux entiers relatifs

Un entier relatif est dit composé, s'il est différent de zéro, un et moins un et s'il n'est pas premier.

Un entier relatif est composé si et seulement si sa valeur absolue est composé.

Ex: 8 est un nombre relatif car il a le diviseurs 4 et n'est pas un nomre premier

Sortes de nombres composés

Une manière de classer les nombres composés consiste à compter le nombre de facteurs premiers. Un nombre composé avec deux facteurs premiers est un nombre semi-premier ou un nombre 2-presque premier (les facteurs n'ont pas besoin d'être distincts, par conséquent, les carrés de nombres premiers sont inclus). Un nombre composé avec trois facteurs premiers distincts est un nombre sphénique. Dans quelques applications, il est nécessaire de différentier les nombres composés d'un nombre impair de facteurs premiers distincts de ceux composés d'un nombre pair de facteurs premiers distincts. Pour ce dernier cas

\mu(n) = (-1)^{2x} = 1\,

(où \mu\, est la fonction de Möbius et x est la moitié du total des facteurs premiers), tandis que pour le cas précédent

\mu(n) = (-1)^{2x + 1} = -1.\,

À noter, néanmoins, que pour les nombres premiers, la fonction retourne aussi -1, et que \mu(1) = 1\,. Pour un nombre n avec un ou plus de nombres premiers répétés, \mu(n) = 0\,.

Une autre manière de les classer consiste à compter le nombre de diviseurs. Tous les nombres composés ont au moins trois diviseurs. Dans le cas des carrés de nombres premiers, ces diviseurs sont {1,p,p2}. Un nombre n qui possède plus de diviseurs qu'un x < n quelconque est un nombre hautement composé (bien que les deux premiers de ces nombres sont 1 et 2).


Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation : Nombre premier · Nombre composé · Nombre puissant · Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs : Nombre parfait · Nombre presque parfait · Nombre quasi parfait · Nombre parfait multiple · Nombre hyperparfait · Nombre parfait unitaire · Nombre semi-parfait · Nombre semi-parfait primitif · Nombre pratique
Nombres de diviseurs : Nombre abondant · Nombre hautement abondant · Nombre superabondant · Nombre colossalement abondant · Nombre hautement composé
Autres : Nombre déficient · Nombre étrange · Nombre amical · Nombre sociable · Nombre solitaire · Nombre sublime · Nombre à moyenne harmonique entière · Nombre frugal · Nombre équidigital · Nombre extravagant
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