Anneau de Dedekind

Richard Dedekind définit et établit les bases de la théorie des anneaux portant maintenant son nom.

En mathématiques, un anneau de Dedekind est un anneau commutatif disposant de propriétés particulières. Sa formalisation initiale a pour objectif la description d'un ensemble d'entiers algébriques, ce concept est aussi utilisé en géométrie algébrique.

Un anneau de Dedekind doit son origine à la théorie algébrique des nombres. Pour résoudre des équations comme celle du dernier théorème de Fermat, l'anneau des entiers relatifs s'avère mal commode. Il est parfois plus simple de considérer d'autres anneaux, comme celui des entiers de Gauss, d'Eisenstein ou de Dirichlet. Le théorème des deux carrés de Fermat ou encore l'équation de Pell-Fermat illustre l'utilité d'une telle structure. Leurs études se fondent sur le cas particulier des entiers quadratiques, plus simple que le cas général.

Cette formulation est l'œuvre^[1] de Richard Dedekind et date de la fin du XIX^e siècle.

Définitions

Articles détaillés : Élément entier et Anneau noethérien.

Quatre définitions sont nécessaires pour aborder celle de l'article.

• Soient K un corps commutatif et A un anneau unitaire inclus dans K. Un élément k de K est dit entier sur A s'il est annulé par un polynôme unitaire à coefficients dans A.

• L'ensemble des éléments de K qui sont entiers sur A forme alors un anneau contenant A, appelé la fermeture intégrale de A dans K.

• Soit A un anneau commutatif unitaire intègre. Il se plonge dans son corps des fractions. (La méthode est l'analogue de celle permettant de construire l'ensemble des nombres rationnels à partir des entiers relatifs.) L'anneau A est dit intégralement clos s'il est égal à sa fermeture intégrale dans son corps des fractions.

• Un anneau commutatif unitaire est dit noethérien si toute suite croissante d'idéaux est stationnaire, c'est-à-dire constante à partir d'un certain rang.

Définition — Un anneau est dit de Dedekind s'il vérifie les propriétés suivantes :

1. il est commutatif, unitaire, intègre,
2. il est noethérien,
3. il est intégralement clos, et
4. tous ses idéaux premiers non nuls sont maximaux.

Histoire

Premiers essais

Leonhard Euler utilise pour la première fois un anneau d'entiers algébriques.

L'histoire initiale de l'étude des anneaux de Dedekind se confond avec celles des entiers algébriques. En 1753, Leonhard Euler écrit à Goldbach qu'il a trouvé une preuve du dernier théorème de Fermat pour n égal à trois. Elle se fonde^[2] sur l'utilisation de l'anneau des nombres de la forme a + b.i√3 où a et b sont des entiers relatifs et i l'unité imaginaire. La preuve s'avère fausse car, contrairement à ce qu'imagine le mathématicien, un tel anneau n'est pas factoriel c'est-à-dire qu'il n'existe pas une unique décomposition en facteurs premiers, un contre exemple est donné par les deux décompositions suivantes :

$4 = 2\cdot2 = (1 + i\sqrt 3)(1- i\sqrt 3)\;$

Si l'application est encore approximative, l'utilisation d'ensemble de nombres de cette nature s'avère fructueuse. Carl Friedrich Gauss étudie^[3] les nombres de la forme a + i.b permettant, par exemple de fournir des preuves élégantes du théorème des deux carrés de Fermat, ils sont maintenant dénommés entiers de Gauss. Gotthold Eisenstein analyse l'anneau des entiers portant son nom et qui offre une démonstration rigoureuse du grand théorème de Fermat pour n égal à trois analogue à celle d'Euler.

Groupe des unités

Dirichlet établit le théorème clé associé aux unités d'un anneau d'entiers.

La résolution générale du dernier théorème de Fermat amène l'étude d'autres anneaux d'entiers. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet comprend que, pour les valeurs supérieures de n, une première obstruction rend la démonstration plus technique. Il utilise l'anneau maintenant appelé des entiers de Dirichlet formé des nombres de la forme a + b.1/2 (1 + √5). L'obstruction réside dans le fait que, si l'anneau est bien euclidien, l'ensemble des éléments inversibles encore appelé groupe des unités devient infini. Pour ces éléments, aucun outil classique de la théorie des anneaux, comme la décomposition en facteurs premiers n'est possible. Il parvient néanmoins à trouver une preuve^[4] complétée quelques mois plus tard par Adrien-Marie Legendre.

Cette analyse du groupe des unités dans le cas d'entiers quadratiques revient à l'étude de la structure des solutions de l'équation de Pell-Fermat. Une élucidation générale de la structure du groupe des unités d'une fermeture intégrale est finalement donnée par Dirichlet^[5] et porte maintenant le nom de théorème des unités de Dirichlet.

La compréhension de la structure du groupe des unités ne permet néanmoins pas de venir à bout du dernier théorème de Fermat. Gabriel Lamé prouve bien, quatorze ans après Dirichlet, l'absence de solution pour n égal à sept à l'aide d'un anneau entiers quadratique comportant un groupe des unités infini^[6]. Cependant la preuve est complexe et non généralisable.

Deuxième obstruction

Ernst Kummer comprend comment contourner la deuxième obstruction.

Lamé croit trouver une solution générale^[7] en utilisant l'anneau des entiers d'un corps cyclotomique. Un corps cyclotomique d'indice n est le plus petit corps contenant les racines n^ième de l'unité du corps des complexes. L'anneau des entiers est celui des nombres du corps racine d'un polynôme unitaire à coefficients entiers relatifs. Son erreur consiste à supposer, en terme moderne que l'anneau est factoriel, c'est-à-dire que le théorème fondamental de l'arithmétique s'applique sur une structure de cette nature.

Cette propriété, que l'on sait être fausse dans le cas général pour les anneaux d'entiers quadratiques n'est pas non plus vérifiée pour les entiers cyclotomiques. En 1844, soit trois ans plus tôt, Ernst Kummer avait établi cette absence de propriété dans le cas général en exhibant un contre exemple, les entiers du corps cyclotomiques des racines 23^ièmes de l'unité^[8].

L'absence de factorialité de ce type d'anneau est, à la suite de Kummer, considérée comme la deuxième obstruction pour les anneaux de cette nature^[9]. Une manière d'interpréter cette difficulté consiste à considérer qu'il manque des nombres pour assurer l'unicité de la décomposition en facteurs premiers. Kummer définit des nombres idéaux palliant les manques et permettant d'exprimer une nouvelle forme de théorème fondamental de l'arithmétique. Elle lui permet de démontrer^[10] le dernier théorème de Fermat pour toute valeur de n jusqu'à 100 qui soit un nombre premier régulier, c'est-à-dire à l'exception de 37, 59 et 67 (parmi les nombres premiers < 100).

Formalisme de Dedekind

À l'instar de Leopold Kronecker, l'objectif de Dedekind est de généraliser les résultats de Kummer à toute fermeture intégrale d'un corps de nombre et non pas seulement aux corps cyclotomiques. Leurs philosophies sont néanmoins opposées, l'objectif de Dedekind est en rupture avec la tradition calculatoire de Gauss et Kummer. Il cherche à démontrer les propriétés de ces anneaux à l'aide de leurs caractéristiques fondamentales et non pas le fruit de calculs complexes^[11].

À cette occasion, il formalise la notion d'idéal^[12] et d'idéal principal. La multiplication des idéaux principaux correspond à celles de leurs générateurs et se généralise à tous les idéaux. L'objectif est alors de montrer que tout idéal se décompose de manière unique en un produit d'idéaux premiers. Les nombres idéaux de Kummer conduisent aux idéaux premiers non principaux. Un outil essentiel est l'idéal fractionnaire qu'il formalise^[5] en 1876. Elle confère à l'ensemble des idéaux une structure de groupe abélien dont un sous-groupe est composé des idéaux fractionnaires principaux et permet d'exprimer le théorème fondamental sur la structure des idéaux premiers non principaux : Le groupe quotient des idéaux fractionnaires par les idéaux fractionnaires principaux est fini dans le cas d'une fermeture intégrale d'un corps de nombres algébriques. Ce groupe quotient est appelé groupe des classes d'idéaux. Il démontre^[1] ce résultat dans toute sa généralité à la fin du siècle^[13].

XX^e siècle

À la différence des anneaux principaux, les cas d'anneaux de Dedekind sont finalement fréquents. De plus, ils ne se limitent pas aux fermetures intégrales d'extension de corps. Un vaste sujet utilise largement cette structure : la géométrie algébrique. Les entiers relatifs sont remplacés par un anneau de polynômes sur un corps fini et le corps de nombre par un corps de fonctions. Un tel anneau vérifie encore les axiomes de Dedekind.

De nouveaux outils comme la valuation sont développés et les anneaux de valuation discrète permettent d'étudier de nouvelles structures comme les nombres p-adiques.

Exemples

Entier algébrique

Le premier exemple est donné par l'ensemble des entiers algébriques d'une extension finie du corps des rationnels. Une première famille d'anneau de cette nature est celle des entiers quadratiques correspondant aux entiers d'une extension quadratique. Deux cas particuliers simples sont les entiers de Gauss et ceux d'Eisenstein. Ces deux anneaux sont euclidiens et le groupe des unités est fini, et même cyclique. Les entiers de Dirichlet mettent en évidence une obstruction, le groupe des unités est infini. Les anneaux d'entiers quadratiques permettent d'analyser les deux obstructions et d'en comprendre leur nature à l'aide d'une étude plus simple que celle du cas général.

Un exemple très étudié est celui de la fermeture intégrale d'une extension cyclotomique, c'est-à-dire d'une extension contenant toutes les racines d'un polynôme cyclotomique. La théorie de Galois est particulièrement riche pour les corps de cette nature. Les extensions sont non seulement galoisiennes, mais aussi abéliennes.

Dans un cas un peu plus général, soit L une extension finie du corps Q des rationnels :

• La fermeture intégrale B de Z dans L (c'est-à-dire l'intersection de L avec l'anneau des entiers algébriques) est un anneau de Dedekind, et son corps des fractions est L.

Démonstration

• L'anneau B est commutatif unitaire intègre et intégralement clos et son corps des fractions est L :

Ces propriétés sont démontrées dans un cadre général dans l'article Élément entier.

• L'anneau B est noethérien :

Une démonstration dans un cadre plus général est proposée dans l'article Anneau noethérien. Elle utilise les outils de la théorie de Galois ainsi que la forme trace et le polynôme minimal.

• Le quotient de B par un idéal non nul P est de cardinal fini :

Remarquons dans un premier temps que P contient un entier relatif a non nul. En effet, soient p un élément non nul de P et a le coefficient constant de son polynôme minimal sur Z, alors a appartient à P. Ainsi, B/P est un quotient de B/(a). Comme le groupe additif de B est isomorphe à Zⁿ (où n désigne la dimension de L sur Q), celui de B/(a) est isomorphe à (Z/aZ)ⁿ, donc est fini. Il en résulte que B/P est également fini.

• Tout idéal premier non nul P de B est maximal :

Le quotient de B par P est un anneau intègre si P est premier. Tout anneau intègre fini est un corps, ce qui montre que P est maximal.

Géométrie algébrique

Si les extensions finies des nombres rationnels contiennent des fermetures intégrales jouissant des propriétés d'un anneau de Dedekind, il en est de même pour les extensions finis de F(X). Ici F désigne un corps fini et F(X) le corps des fractions rationnelles. Cet ensemble est le corps des fractions des polynômes formels à coefficients dans F.

Une extension finie de F(X) est appelé un corps de fonctions. Il est possible d'y étudier les fermetures intégrales. Si les analogies sont nombreuses, l'arithmétique sur un corps de fonctions est souvent plus facile que sur un corps de nombres^[14]. Plusieurs raisons sont à l'origine de la simplification. Les valeurs absolues sur les corps de fonctions sont toutes ultramétrique, en revanche il en existe une archimédienne sur les nombres rationnels. Les corps de fonctions disposent d'un outil bien utile, la dérivation, qui n'existe pas pour les corps de nombres. Enfin, il est possible de considérer le produit tensoriel $\scriptstyle {F[X]\otimes F[X]}$, qui n'a pas d'équivalent intéressant sur les corps de nombres.

Propriétés

Idéal fractionnaire

Article détaillé : Idéal fractionnaire.

Une propriété essentielle d'un anneau de Dedekind réside dans le fait que tout idéal non nul se décompose de manière unique en un produit d'idéaux premiers. Ce résultat est un substitut au théorème fondamental de l'arithmétique, qui ne s'applique que dans un anneau factoriel. Pour établir ces propriétés, il est utile de munir l'ensemble des idéaux d'une multiplication. Le produit de deux idéaux I₁ et I₂ est le plus petit idéal contenant tous les produits a.b si a (resp. b) est élément de I₁ (resp. I₂). Le produit est associatif, il admet un élément neutre (l'anneau tout entier) et est associatif. Il est alors commode d'enrichir l'ensemble de tous les inverses, la structure devenant ainsi un groupe abélien.

Les propriétés des idéaux et idéaux fractionnaires caractérisent un anneau de Dedekind. Plus précisément, le théorème suivant est présenté dans l'article détaillé :

Théorème — Soit A un anneau commutatif unitaire, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. A est un anneau de Dedekind,
2. tout idéal premier non nul de A est inversible,
3. tout idéal non nul de A est inversible,
4. A est intègre et tout idéal non nul de A est produit d'idéaux maximaux,
5. A est intègre et tout idéal de A est produit d'idéaux premiers.

De plus, si A est un anneau de Dedekind, la décomposition de tout idéal non nul en produit d'idéaux premiers est unique (à l'ordre près des facteurs).

L'existence et l'unicité de la décomposition d'un idéal en idéaux premiers permet la définition (également présentée dans l'article détaillé) d'une famille de fonctions appelées valuations. La valuation en P, où P désigne un idéal premier non nul, est une fonction qui à un idéal non nul J de A associe le plus petit entier n tel que P ⁿ contienne J. Cette fonction est souvent notée : v_P. Elle se prolonge sur les idéaux fractionnaires de A et prend alors ses valeurs dans l'ensemble des entiers relatifs. Si π désigne l'ensemble des idéaux premiers non nuls et F un idéal fractionnaire non nul :

$F = \prod_{P \in \Pi} P^{v_P(F)}$

La fonction qui à P associe v_P(F) (pour F fixé) est nulle presque partout, c'est-à-dire que le produit précédent ne contient qu'un nombre fini de facteurs différents de A. Cette formule définit un isomorphisme entre le groupe des idéaux fractionnaires et le groupe abélien libre engendré par π.

À partir de cette fonction valuation sur les idéaux, on définit une valuation sur K, le corps des fractions de l'anneau de Dedekind A : pour un élément k, v_P(k) est égal à l'image par v_P de l'idéal fractionnaire principal kA. À chacune de ces valuations v_P sur K est associé un anneau de valuation, et A est l'intersection de tous ces sous-anneaux de K.

Localisation

Article détaillé : Anneau de valuation discrète.

Une structure utile pour l'analyse d'un anneau de Dedekind est un anneau de fractions particulier.

Si P est un idéal premier d'un anneau commutatif unitaire intègre A, le localisé de A en P, noté A_P, désigne l'ensemble des fractions a / b telles que a est élément de A et b un élément de A qui n'est pas dans P. C'est un anneau local : son unique idéal maximal est P.A_P.

Si A est de Dedekind cet anneau A_P est de plus un principal. C'est donc soit un corps si P est nul, soit un anneau de valuation discrète sinon. Comme les idéaux fractionnaires, la structure des localisés de A caractérise les anneaux de Dedekind, plus précisément^[15] :

Soit A un anneau commutatif unitaire intègre noethérien. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. A est de Dedekind,
2. pour tout idéal maximal M, le localisé de A en M est un anneau principal,
3. tout idéal premier non nul M est maximal et pour un tel M, le A/M-espace vectoriel M / M² est de dimension 1.

Démonstration

Excluons le cas évident où A est un corps.

$1\Rightarrow 2$ : L'anneau intègre A_M est intégralement clos, comme localisé d'un anneau intégralement clos. Il est noethérien, comme localisé d'un anneau noethérien. Le fait qu'en outre les seuls idéaux premiers du localisé A_M soient 0 et l'idéal non nul M.A_M montre que c'est un anneau de valuation discrète.

$2\Rightarrow 3$ : Soient P un idéal premier non nul et M un idéal maximal contenant P. Alors A_M est un anneau de valuation discrète et P.A_M est un idéal premier non nul de A_M, donc égal à M.A_M, si bien que P = M (donc P est maximal). De plus, le A/M-espace vectoriel M/M² est isomorphe à M.A_M / M².A_M, donc sa dimension vaut 1(puisque M.A_M est un idéal principal non nul de A_M).

$3\Rightarrow 1$ : Les idéaux maximaux M sont non nuls et les A_M sont des anneaux de valuation (discrète) d'après l'hypothèse, donc intégralement clos, donc leur intersection A aussi.

Extension finie

Une méthode pour construire un anneau de Dedekind est de considérer la fermeture intégrale d'un anneau de Dedekind A dans une extension finie de son corps des fractions K. C'est une généralisation du cas A=Z vu plus haut comme premier exemple, dans la sous-section Entier algébrique.

• Soit L une extension finie séparable de K et B la fermeture intégrale de A dans L, alors B est un anneau de Dedekind, et son corps des fractions est L.

Démonstration

Le fait que B est un anneau commutatif, unitaire, intègre, noethérien, intégralement clos, et que son corps des fractions est L se démontre exactement comme dans le premier exemple, vu plus haut dans la sous-section Entier algébrique (en remplaçant bien sûr Z par A et Q par K).

Pour conclure que B est de Dedekind, il reste à démontrer^[16] que tout idéal premier non nul P de B est maximal, c'est-à-dire que l'anneau quotient correspondant B / P est un corps.

Soit x un élément de B dont la classe $\overline x$ dans B /P est non nulle, montrons que cette classe possède un inverse dans B / P. Il suffit pour cela de montrer que dans ce quotient, le sous-anneau image de A[x] est un corps.

Or ce sous-anneau image n'est autre que C[$\overline x$], en désignant par C l'image A / (P∩A) de A. Comme $\overline x$ est entier sur C, il suffit, pour montrer que C[$\overline x$] est un corps, de s'assurer que C en est un, c'est-à-dire de vérifier que l'idéal P∩A de A est maximal ou (ce qui dans A revient au même) premier et non nul. On sait déjà que P∩A est premier, comme image réciproque d'un idéal premier. Reste donc à montrer que P∩A est non nul.

Soient $\scriptstyle Q\in A[X]$ un polynôme unitaire de degré minimum qui s'annule en x, et a le terme constant (non nul) de Q. Alors a appartient non seulement à A mais aussi à l'idéal engendré par x, donc à P. Ainsi, P∩A est non nul, ce qui conclut.

La séparabilité de L est utilisée, dans l'article Anneau noethérien, pour montrer que B est fini sur A (la forme trace de l'anneau B est non dégénérée, ce qui permet de montrer simplement le caractère fini de B, c'est-à-dire de type fini en tant que module sur A). Cet énoncé reste vrai pour toute extension finie L de K (non nécessairement séparable)^[17], cependant B ne sera plus nécessairement de type fini en tant que A-module^[18].

L'étude des anneaux de Dedekind d'une extension de cette nature offre des outils d'analyse de la structure du corps L. La décomposition des idéaux premiers de K dans L permet de définir la ramification. Ce concept est utilisé, par exemple pour établir le théorème de Kronecker-Weber. La théorie des corps de classes généralise son usage.

Notes et références

Notes

1. ↑ ^{a et b} (de) R. Dedekind, « Zur Theorie der Ideale », Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen, 1894
2. ↑ (en) Harold Edwards, Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Springer, 3^ème éd., 2000 (ISBN 978-0-387-95002-0)
3. ↑ C. F. Gauss, Recherches arithmétiques, trad. française des Disquisitiones arithmeticae par A.-C.-M. Poullet-Delisle, 1801
4. ↑ Dirichlet, Démonstration du théorème de Fermat et de Wilson (compte-rendu par Cournot de quelques mémoires d'Abel, Jacobi et Lejeune-Dirichlet, au Journal de Crelle, t. 3, cah. 4). 1829, t. 11, p. 153-157
5. ↑ ^{a et b} Dirichlet 1871
6. ↑ On trouve une description en anglais de la preuve sur le blog Fermat's last theorem.
7. ↑ Gabriel Lamé, Démonstration générale du théorème de Fermat, sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation xⁿ +yⁿ =zⁿ, CRAS, 1847, 24, 310-315 [lire en ligne sur Gallica]
8. ↑ (en) Harold Edwards, « The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes », Arch. History Exact Sci. 14(1975)
9. ↑ Cette expression est par exemple utilisée dans Bas Edixhoven (de) et Laurent Moret-Bailly, Théorie algébrique des nombres, cours de maîtrise de mathématiques, université de Rennes I, 2004 [lire en ligne], p. 41 .
10. ↑ (de) E. Kummer, « Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von x^λ+y^λ=z^λ für eine unendliche Anzahl Primzahlen λ », Monatsber. Akad. d. Wiss. Berlin, 1847, p. 132-139, 140-141, 305-319
11. ↑ R. Dedekind, Sur la théorie des nombres entiers algébriques, 1876
12. ↑ La définition est donnée dans ses commentaires de Dirichlet 1871.
13. ↑ Ce paragraphe provient de (en) J. Avigad, Dedekind's 1871 version of the theory of ideals, 2004.
14. ↑ Cette comparaison vient de la p. I-6 de Loïc Merel, Nombres algébriques et nombres p-adiques, cours préparatoire aux études doctorales, 2003-04.
15. ↑ Bourbaki AC, VII.2.2
16. ↑ Cette démonstration est extraite de Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions].
17. ↑ Cf Bourbaki AC VII.2.5 ou (en) Samuel et Zariski, Commutative Algebra, vol 1, page 281.
18. ↑ Cf (de) Friedrich Karl Schmidt, « Über die Erhaltung der Kettensätze der Idealtheorie bei beliebigen endlichen Körpererweiterungen », Mathematische Zeitschrift 41(1), 1984, p. 443-45.DOI:10.1007/BF01180433. L'exemple est détaillé dans (en) Siegfried Bosch, Ulrich Güntzer et Reinhold Remmert (de), Non-Archimedean Analysis, Springer, 1984 (ISBN 978-3-54012546-4), p. 50-52.

Références

• Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre commutative 
• (de) J. P. G. Lejeune Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, R. Dedekind Braunschweig Viweg und Sohn, 1871 (1^re éd. 1863) [lire en ligne] , trad. Traité sur la théorie des nombres, C. Duverney, Tricorne, Genève, 2006 (ISBN 2829302893)
• (en) G. H. Hardy et E. M. Wright (en), An Introduction to the Theory of Numbers [détail des éditions]
• (en) Kenneth Ireland et Michael Rosen (de), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, 1990 (réimpr. 1998), 2^e éd. (ISBN 978-0-38797329-6) 
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]