Algèbre sur un anneau
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En mathématiques, une algèbre sur un anneau commutatif est une structure algébrique qui se définit comme suit:

(E, \mathbb A, +,\cdot, \times) est une algèbre sur l'anneau commutatif \mathbb A, ou une \mathbb A- algèbre, si :

  1. (E, +, ·) est un module sur \mathbb A ;
  2. la loi de composition interne ×, de E x E dans E, est bilinéaire.

Définitions

Soient \mathbb A un anneau commutatif et E un module sur \mathbb A contenant l'opération binaire (c'est-à-dire \forall x, y \in E, xy\,, est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que pour tous x, y, z \in E\, (éléments du module) et pour tout a \in \mathbb A\, (scalaires), ces identités sont vraies :

  • (x + y) z = x z + y z\,;
  • x ( y + z) = x y + x z\,;
  • (a x) y = a (x y) = x (ay)\,,

alors E est une algèbre sur \mathbb A. On dit aussi que E est une \mathbb A-algèbre où \mathbb A est la base de l'algèbre E. L'opération bilinéaire est appelé la multiplication dans l'algèbre E[1].

Lorsque \mathbb A est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur \mathbb A.

Un morphisme entre deux \mathbb A-algèbres E et F, \,f\,:\, E\to F est un morphisme pour les lois internes (addition et multiplication) et le produit par des scalaires : f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b), et f(ax) = af(x) pour tous a, b\in \mathbb A et tout x\in E.

Un morphisme f est un isomorphisme si f est bijectif (son inverse est alors automatiquement un morphisme d'algèbres). Deux algèbres E et F sur \mathbb A sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de \mathbb A-algèbres f : E \to F.

Voir aussi

Notes et références

  1. N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, édition de 1970, page 2

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