Algèbre associative sur un anneau

Algèbre associative sur un anneau

En mathématiques, une algèbre associative sur un anneau est une structure algébrique sur un anneau commutatif unitaire A telle que B soit muni d'une structure de A-module et d'une structure d'anneau telle que la loi de multiplication de l'anneau soit A-bilinéaire.

Définition formelle

Soit A un anneau (commutatif, unitaire). On dit que $(B,+,\cdot,\times)$ est une A-algèbre lorsque :

$\bullet\ (B,+,\cdot)$ est un A-module,

$\bullet\ (B,+,\times)$ est un anneau,

$\bullet\ \forall \lambda \in A, \forall x, y \in B, \lambda \cdot (x \times y) = x \times (\lambda \cdot y) = (\lambda \cdot x) \times y$

Les éléments de A sont appelés les scalaires.

Lorsque A est un corps commutatif, on parle alors d'algèbre (associative) sur un corps.

Exemples

• Si $(M , +, \cdot)$ est un A-module et A un anneau commutatif unitaire, l'ensemble des endomorphismes de module sur M est une A-algèbre
• Tout anneau $(M,+,\cdot)$ est une $\mathbb{Z}$-algèbre pour la loi externe définie par

$\bullet\ \forall n \in \mathbb{Z}_+^*,\ n\cdot x= \underbrace{x+x+\ldots+x}_{n\ \mathrm{fois}}$

$\bullet\ n \cdot x=0\ \mathrm{pour}\ n=0$

$\bullet\ \forall n \in \mathbb{Z}_-^*,\ n\cdot x= \underbrace{-x-x-\ldots-x}_{|n|\ \mathrm{fois}}$

• L'ensemble des polynômes formels sur un anneau A commutatif unitaire est une A-algèbre.

Définition équivalente

Il existe une définition équivalente^[1] :

Soit A un anneau commutatif (unitaire) et B un anneau, soit f:A->B un homomorphisme d'anneaux tel que f(A) soit dans le centre de B. On peut alors définir une loi de composition externe $(a,b)\mapsto f(a)b$ qui munit B d'une structure de A-algèbre (associative).

Notes et références

1. ↑ Définition utilisée par exemple par Serge Lang dans Algebra

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