Algebre sur un anneau

Algèbre sur un corps

En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit:

(E, \mathbb K, +,\cdot, \times) est une algèbre sur un corps \mathbb K, ou autrement dit une \mathbb K- algèbre si :

  1. (E, +, ·) est un espace vectoriel sur \mathbb K
  2. la loi × est définie de E x E dans E (loi de composition interne)
  3. la loi × est distributive, à gauche et à droite, par rapport à la loi + .
  4. pour tout (a, b) dans \mathbb K^2 et pour tout (x, y) dans E2, (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)

Sommaire

Définitions

Soient \mathbb K un corps et A un espace vectoriel sur \mathbb K contenant l'opération binaire (c'est-à-dire \forall x, y \in A, xy\,, est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que \forall x, y, z \in A\, (vecteurs) et \forall a, b \in \mathbb K\, (scalaires), ces identités sont vraies :

  • (x + y) z = x z + y z\,;
  • x ( y + z) = x y + x z\,;
  • (a x) (b y) = (a b) (x y)\,,

alors A est une algèbre sur \mathbb K. On dit que A est une \mathbb K-algèbre où \mathbb K est la base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

\mathbb K peut être un anneau commutatif, dans ce cas, A et \mathbb K forment un module. Dans ce cas, A est une \mathbb K-algèbre et \mathbb K est l'anneau de base de A.

Deux algèbres A et B sur \mathbb K sont isomorphes s'il existe une bijection f : A \rightarrow B telle que f(xy) = f(x)f(y) \forall x,y \in A.

Propriétés

Exemples

Voir aussi

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