Espace vectoriel de dimension finie

Sur un corps K, un espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie. Les espaces de dimension finie jouissent de propriétés qui leur sont propres. Les bases duales et la formule de Grassmann en sont des exemples.

Existence d'une base

Une base de E est définie comme une famille libre maximale. Qu'il soit de dimension finie ou non, tout espace vectoriel admet une base, et l'article théorème de la base incomplète en présente une démonstration. Même si le résultat est général, des démonstrations spécifiques à la dimension finie existent. Elles reposent sur la preuve du lemme suivant :

Lemme 1. Si E est de dimension finie, c'est-à-dire s'il admet une famille génératrice finie $(w_1,\dots,w_k)$, alors toute famille libre de E possède au plus k vecteurs.

La méthode utilisée dans la démonstration proposée ci-dessous est à la base de l'algorithme du pivot de Gauss. Ce lemme implique l'existence de base en dimension finie, et en voici l'argument. Si une famille $\mathcal{L}$ de vecteurs est libre mais non maximale, il est alors possible de lui adjoindre un vecteur v de sorte que $(\mathcal{L},v)$ soit libre. Cette nouvelle famille ne peut pas comporter plus de k vecteurs. Partant de la famille vide (indexée par l'ensemble vide) qui est libre, on adjoint un vecteur tant que la famille libre obtenue ne soit pas maximale. La borne a priori montre que cette boucle s'arrête au bout d'un nombre fini d'étapes, au plus k. Est ainsi obtenue une base de E.

Si $(v_1,\dots,v_n)$ et $(w_1,\dots,w_k)$ sont deux bases de E, alors ce sont des familles à la fois libres et génératrices. Le lemme 1 implique alors d'une part $n\leq k$ et d'autre part $k\leq n$ et donc n = k. Cet entier naturel, nombre de vecteurs dans toute base de E, s'appelle la dimension de E :

Proposition. Si E est de dimension finie, deux bases admettent exactement le même nombre de vecteurs.

Démonstration du lemme 1.

Soit $(v_1,\dots,v_n)$ une famille libre de E. Sans restriction, on suppose les w_i non nuls et on démontre le résultat par récurrence sur k :

1. Si k=1, alors E est engendré par un seul vecteur, le vecteur w₁. E est donc une droite vectorielle, et en, particulier, deux vecteurs de E sont nécessairement colinéaires. Donc, toute paire de vecteurs est liée. La famille (v₁,...,v_n) étant libre, il vient nécessairement n=1=k.

2. Supposons la propriété vérifiée jusqu'au rang k-1. Comme la famille (w₁,...w_k) engendre E, il existe des scalaires a_ij tels que

$v_i=\sum_{j=1}^ka_{ij}w_j$.

Comme v_n est non nul (la famille est libre), il existe un indice j tel que a_n,j est non nul. Quitte à effectuer une permutation des indices j, on peut supposer j=k. On peut substituer à (v_j la famille, toujours libre, (v_i') définie par :

$v_i'=v_i-\frac{a_{i,k}}{a_{n,k} }v_n$.

Alors pour tout i<n, a_i,k est nul. Il s'ensuit que la famille libre (v₁,...,v_n-1) appartient au sous-espace vectoriel de E engendré par (w₁,...,w_k-1). Par hypothèse de récurrence, $n-1\leq k-1$ et donc $n\leq k$. La propriété s'en trouve démontrée.

 

Topologie

Article détaillé : Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie.