Itération de householder


Itération de householder

Itération de Householder

En analyse numérique, l'itération de Householder ou méthode de Householder désigne un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C2).

L'algorithme est itératif et de convergence cubique ; il se généralise à des fonctions Cn avec une convergence d'ordre n + 1.

Il doit son nom à son inventeur, le mathématicien Alston Scott Householder.

Sommaire

Énoncé

Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Householder consiste à itérer :

x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\times (1+h_k)

avec

h_k = \frac{f(x_k) f''(x_k)}{2 f'(x_k)^2}

à partir d'une estimation x0 de a.

On retrouve l'itération de Halley en remplaçant (1 + hk) par 1/(1 − hk) pour hk << 1 dans la relation de récurrence ci-dessus.

Généralisation

Les méthodes Householder généralisent la méthode de Newton (cas n = 0) et la méthode de Halley (cas n = 1) dans le cas d'une fonction Cn + 1 :

x_{k+1}=x_k + (n+1)\frac{(1/f)^{(n)}(x_k)}{(1/f)^{(n+1)}(x_k)}

Leur vitesse de convergence est d'ordre n + 2.

Voir aussi

Liens internes

Liens externes

Bibliographie

  • (en) Alston Scott Householder, Numerical Treatment of a Single Nonlinear Equation, McGraw Hill Text, New York, 1970. ISBN 0-07-030465-3



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