Methode de la secante


Methode de la secante

Méthode de la sécante

En analyse numérique, la méthode de la sécante est un algorithme de recherche de racines d'une fonction f.

Sommaire

La méthode

La méthode de la sécante est une méthode dérivée de celle de Newton où l'on remplace f'(x_n)\, par \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}} On obtient la relation de récurrence

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} f(x_n).

L'initialisation nécessite 2 points x0 et x1, proches, si possible, de la solution recherchée.

Démonstration

La courbe rouge représente la fonction f et le segment en bleu, la sécante.

Étant donné a et b, on construit le segment reliant (a, f(a)) et (b, f(b)). La droite peut être définie ainsi :

 y - f(b) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-b).

On choisit c de telle sorte que c soit la racine de cette droite (c'est-à-dire f(c) =0)

 f(b) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (c-b) = 0.

Si on extrait c de cette équation, on retrouve la relation de récurrence citée plus haut.

Convergence

Si les valeurs initiales de x0 et de x1 sont suffisamment proches de la solution, la méthode aura un ordre de convergence de

 \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,618 qui est le nombre d'or.

Toutefois, la fonction f doit être 2 fois continuement différentiable et ce doit être une racine simple.

Exemples d'implémentation

Ce programme en C résout le problème f(x) = cos(x) - x3 = 0. Les tests d'arrêts sont les suivants :

  • | xn + 1xn | < e
  • n > m

m et e étant donnés.

#include <stdio.h>
#include <math.h>
  
double f(double x)
{
    return cos(x) - x*x*x;
}
 
double SecantMethod(double xn_1, double xn, double e, int m)
{
    int n;
    double d;
    for (n = 1; n <= m; n++)
    {
        d = (xn - xn_1) / (f(xn) - f(xn_1)) * f(xn);
        if (fabs(d) < e)
            return xn;
        xn_1 = xn;
        xn = xn - d;
    }
    return xn;
}
 
int main(void)
{
    printf("%0.15f\n", SecantMethod(0, 1, 5E-11, 100));
    return 0;
}

On obtient les résultats suivants :

 x_0 = 0\,\!
 x_1 = 1\,\!
 x_2 = 0,685073357326045\,\!
 x_3 = 0,841355125665652\,\!
 x_4 = 0,870353470875526\,\!
 x_5 = 0,865358300319342\,\!
 x_6 = 0,865473486654304\,\!
 x_7 = 0,865474033163012\,\!
 x_8 = 0,865474033101614\,\!


Programme en Fortran :

       PROGRAM MethodeSecante
          IMPLICIT NONE
          REAL(8) :: Secante, f	! Fonctions
          REAL(8) :: x
          
          x=Secante(0d0, 1d0, 5d-11)
          PRINT *, x, f(x)
       END PROGRAM MethodeSecante
 
       REAL(8) FUNCTION f(x)
          IMPLICIT NONE
          REAL(8) :: x
          
          f=cos(x) - x*x*x
       END FUNCTION f
 
       REAL(8) FUNCTION Secante(x0, x1, e)
          IMPLICIT NONE
          REAL(8)	:: f	! Fonction
   	   REAL(8) 	:: x0,x1,xn_1,xn
   	   REAL(8)	:: d,e
   
   	   d=2d0*e
   	   xn_1=x0
   	   xn=x1
          DO WHILE (ABS(d)>e)
   		d = (xn - xn_1) / (f(xn) - f(xn_1)) * f(xn)
      		xn_1 = xn
      		xn = xn - d
      	   END DO
          Secante=xn
       END FUNCTION Secante

Voir aussi


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