Dérivée extérieure

Dérivée extérieure

En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de degré quelconque.

Elle permet de définir les formes différentielles fermées et exactes. Elle est importante dans la théorie de l'intégration sur les variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et celle d'Alexander-Spanier (en). Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan.

Sommaire

Définition

Pour toute variété différentielle M, Ω(M) désigne l'espace gradué des formes différentielles sur M. Il existe un unique opérateur linéaire \mathrm d:\Omega(M)\to \Omega(M) vérifiant :

  1. d est un opérateur linéaire gradué de degré 1 et induit en particulier des applications linéaires \mathrm d:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k+1}(M) ;
  2. En notant \wedge le produit extérieur, pour toutes formes différentielles α et β de degrés respectifs k et q, on a : \mathrm d\left(\alpha\wedge \beta\right)=\mathrm d\alpha\wedge \beta+(-1)^k \alpha \wedge \mathrm d\beta ;
  3. Le carré de d est nul : d2 = 0 ;
  4. Pour toute fonction f\in \Omega^0(M), df est la différentielle de f.

Le noyau de d contient les formes fermées, et l'image des formes exactes (cf. différentielle exacte).

Expression en coordonnées locales

Pour une k-forme \omega = f dx_{i_1}\wedge ...\wedge dx_{i_k} sur Rn, la différentielle s'écrit

d{\omega} = df \wedge dx_{i_1}\wedge ...\wedge dx_{i_k} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} dx_j \wedge dx_{i_1}\wedge ...\wedge dx_{i_k} .

Formule invariante

Étant donné ω de forme k et des champs vectoriels arbitraires lisses V0,V1, …, Vk nous avons

d\omega(V_0,V_1,...V_k)=\sum_i(-1)^i V_i\omega(V_0,...,\hat V_i,...,V_k)
+\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([V_i,V_j],V_0,...,\hat V_i,...,\hat V_j,...,V_k)

[V_i,V_j]\,\! dénote le crochet de Lie et \omega(V_0,...,\hat V_i,...,V_k)=\omega(V_0,..., V_{i-1},V_{i+1}...,V_k).

En particulier, pour les 1-formes nous avons:

dω(X,Y) = X(ω(Y)) − Y(ω(X)) − ω([X,Y]).

Lien avec le calcul vectoriel

La correspondance suivante révèle environ une douzaine de formules du calcul vectoriel qui apparaissent comme des cas spéciaux des trois règles de différentiation extérieure ci-dessus.

Gradient

Pour une 0-forme, qui est une fonction lisse f: RnR, nous avons

df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\, dx_i.

Alors

df(V) = \langle \mbox{grad }f,V\rangle,

grad f dénote le gradient de f et \langle\cdot,\cdot\rangle est le produit scalaire.

Rotationnel

Pour une 1-forme ω = ωxdx + ωydy + ωzdz sur R3 (que l'on peut identifier à un champ de vecteurs),

d \omega = \left(\frac{\partial \omega_y}{\partial x} - \frac{\partial \omega_x}{\partial y} \right) dx \wedge dy 
+ \left(\frac{\partial \omega_z}{\partial y} - \frac{\partial \omega_y}{\partial z} \right) dy \wedge dz 
+ \left(\frac{\partial \omega_x}{\partial z} - \frac{\partial \omega_z}{\partial x} \right) dz \wedge dx.

Grâce au produit vectoriel sur R3, on peut identifier la 2-forme dω à un champ de vecteurs \overrightarrow{\text{rot}}\; \omega, appelé rotationnel de ω et défini comme suit (voir dualité de Hodge)

 d\omega (\vec{a},\vec{b}) = \overrightarrow{\text{rot}}\; \omega \cdot (\vec{a}\wedge\vec{b})

\cdot est le produit scalaire et \vec{a}\wedge\vec{b} est le produit vectoriel. On retrouve ainsi la définition usuelle du rotationnel

\overrightarrow{\text{rot}}\; \omega = \left(\frac{\partial \omega_y}{\partial x} - \frac{\partial \omega_x}{\partial y} \right) \vec{e_z} 
+ \left(\frac{\partial \omega_z}{\partial y} - \frac{\partial \omega_y}{\partial z} \right) \vec{e_x} 
+ \left(\frac{\partial \omega_x}{\partial z} - \frac{\partial \omega_z}{\partial x} \right) \vec{e_y}.

Divergence

Pour une 2-forme  \omega = \sum_{i,j} h_{i,j}\,dx_i\wedge\,dx_j, on a:

d \omega = \sum_{i,j,k} \frac{\partial h_{i,j}}{\partial x_k} dx_k \wedge dx_i \wedge dx_j.

En trois dimensions, avec  \omega = p\,dy\wedge dz+q\,dz\wedge dx+r\,dx\wedge dy on obtient: d \omega = \left( \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial q}{\partial y} + \frac{\partial r}{\partial z} \right) dx \wedge dy \wedge dz = \mbox{div}V dx \wedge dy \wedge dz,

V est un champ vectoriel defini par V = [p,q,r].

Exemples

Pour une 1-forme \sigma = u\, dx + v\, dy sur R2 nous avons :d \sigma = \left(\frac{\partial{v}}{\partial{x}} - \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\right) dx \wedge dy, ce qui est exactement la 2-forme qui apparaît dans le théorème de Green.

Voir aussi



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Dérivée extérieure de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Derivee exterieure — Dérivée extérieure En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle, étend le concept de la différentielle d une fonction aux formes différentielles de plus haut degré. Elle permet de définir les formes… …   Wikipédia en Français

  • Dérivée Extérieure — En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle, étend le concept de la différentielle d une fonction aux formes différentielles de plus haut degré. Elle permet de définir les formes différentielles fermées et… …   Wikipédia en Français

  • Dérivée — En analyse, le nombre dérivé en un point d une fonction à variable et valeurs réelles est le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C est le coefficient directeur de l approximation affine de cette fonction… …   Wikipédia en Français

  • Differentielle exterieure — Dérivée extérieure En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle, étend le concept de la différentielle d une fonction aux formes différentielles de plus haut degré. Elle permet de définir les formes… …   Wikipédia en Français

  • Différentielle Extérieure — Dérivée extérieure En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle, étend le concept de la différentielle d une fonction aux formes différentielles de plus haut degré. Elle permet de définir les formes… …   Wikipédia en Français

  • Différentielle extérieure — Dérivée extérieure En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle, étend le concept de la différentielle d une fonction aux formes différentielles de plus haut degré. Elle permet de définir les formes… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Forme Différentielle — Pour les articles homonymes, voir Forme. En géométrie différentielle, une forme différentielle est la donnée d un champ d applications multilinéaires alternées sur les espaces tangents d une variété différentielle possédant une certaine… …   Wikipédia en Français

  • Forme differentielle — Forme différentielle Pour les articles homonymes, voir Forme. En géométrie différentielle, une forme différentielle est la donnée d un champ d applications multilinéaires alternées sur les espaces tangents d une variété différentielle possédant… …   Wikipédia en Français

  • Forme différentielle — Pour les articles homonymes, voir Forme. En géométrie différentielle, une forme différentielle est la donnée d un champ d applications multilinéaires alternées sur les espaces tangents d une variété différentielle possédant une certaine… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”