Dualite de Hodge


Dualite de Hodge

Dualité de Hodge

En algèbre linéaire, l'opérateur de Hodge est un opérateur sur l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel euclidien orienté. Il est usuellement noté par une étoile qui précède l'élément auquel l'opérateur est appliqué. On parle ainsi d'étoile de Hodge. Si la dimension de l'espace est n, l'opérateur établit une correspondance entre les k-vecteurs et les (n-k)-vecteurs, appelée dualité de Hodge.

En géométrie différentielle, l'opérateur de Hodge peut être étendu aux fibrés vectoriels riemanniens orientés. Appliqué à l'espace cotangent des variétés riemanniennes orientées, l'opérateur de Hodge permet de définir une norme L2 sur l'espace des formes différentielles. La codifférentielle se définit alors comme l'adjoint forme de la dérivée extérieure. Cette codifférentielle intervient notamment dans la définition des formes harmoniques.

Sommaire

Définition

Opérateur de Hodge sur les k-vecteurs

Soit E espace vectoriel euclidien orienté de dimension finie n. Les sous-espaces ΛkE et ΛnkE des k-vecteurs et des n-k vecteurs sont de même dimension, à savoir Cnk. Il est possible de définir un isomorphisme linéaire noté * entre ces deux espaces et appelé opérateur de Hodge.

Pour toute base orthonormale directe e1,e2,...,en,

*(e_1\wedge e_2\wedge ... \wedge e_k)= e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge ... \wedge e_n.


Il s'étend ensuite par linéarité à toute l'algèbre extérieure. Cette définition est peu satisfaisante puisqu'elle fait intervenir des bases et pose un problème de compatibilité. Elle a néanmoins l'avantage de bien décrire le comportement de l'opérateur de Hodge sous forme de complétion de base orthonormale directe.

Une définition plus convenable consiste à faire intervenir la forme volume ω de l'espace vectoriel euclidien orienté E. Le dual de Hodge s'obtient en effectuant la contraction

\;*\;X = \langle\omega,X\rangle

Dualité

Pour un k-vecteur \eta \in \Lambda^k (E) de l'espace E de dimension n, appliquer deux fois l'opérateur de Hodge donne l'identité, au signe près

**\eta=(-1)^{k(n-k)}\;\eta

Applications

Produit scalaire sur l'algèbre extérieure

L'opérateur de Hodge permet de définir un produit scalaire sur l'algèbre extérieure par la relation

\zeta\wedge *\eta = \langle\zeta| \eta \rangle\;*1=\langle\zeta| \eta \rangle\;\overline{\omega}

Pour ce produit scalaire, les k-vecteurs obtenus par produit extérieur à partir de la base orthnormale de E constituent une base orthonormale de ΛE.

Codifférentielle

Extension aux espaces quadratiques

Il est possible de définir un opérateur de Hodge pour un espace quadratique. La formule de dualité est alors modifiée pour prendre en compte la signature de la forme quadratique sur E. Précisément, on multiplie le second membre par le discriminant de cette forme quadratique. Ainsi si n=4 et si la signature est (+,−,−,−) ou (−,+,+,+), l'exposant est k(n-k)+1.

Références

Ouvrages

  • (en) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis [détail des éditions]
  • Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine ; Riemannian Geometry [détail des éditions]
  • (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry [détail des éditions]

Notes et références

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Dualit%C3%A9 de Hodge ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Dualite de Hodge de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Dualité De Hodge — En algèbre linéaire, l opérateur de Hodge est un opérateur sur l algèbre extérieure d un espace vectoriel euclidien orienté. Il est usuellement noté par une étoile qui précède l élément auquel l opérateur est appliqué. On parle ainsi d étoile de… …   Wikipédia en Français

  • Dualité de hodge — En algèbre linéaire, l opérateur de Hodge est un opérateur sur l algèbre extérieure d un espace vectoriel euclidien orienté. Il est usuellement noté par une étoile qui précède l élément auquel l opérateur est appliqué. On parle ainsi d étoile de… …   Wikipédia en Français

  • Dualité de Hodge — En algèbre linéaire, l opérateur de Hodge, introduit par William Vallance Douglas Hodge, est un opérateur sur l algèbre extérieure d un espace vectoriel euclidien orienté. Il est usuellement noté par une étoile qui précède l élément auquel l… …   Wikipédia en Français

  • William Vallance Douglas Hodge — Pour les articles homonymes, voir Hodge. William Vallance Douglas Hodge (17 juin 1903 7 juillet 1975) est un mathématicien écossais. Il fut l élève d Edmund Taylor Whittaker. Il est notamment connu ses travaux reliant la… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Produit mixte — En géométrie, le produit mixte est le nom que prend le déterminant dans un cadre euclidien. Sa valeur absolue s interprète comme le volume d un parallélotope. Pour le produit mixte dans un espace euclidien de dimension trois, voir l article… …   Wikipédia en Français

  • Tenseur de Killing-Yano — En géométrie riemannienne, un tenseur de Killing Yano est une généralisation du concept de vecteur de Killing à un tenseur de dimension supérieure. Ils ont été introduits en 1952 par Kentarô Yano[1]. Un tenseur antisymétrique d ordre p est dit de …   Wikipédia en Français

  • Tenseur de killing-yano — Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel …   Wikipédia en Français

  • Tenseur de Levi-Civita — Le tenseur de Levi Civita – ou tenseur dualiseur – est un tenseur défini à partir du symbole de Levi Civita d ordre N . Étant donné un espace de dimension N, le symbole de Levi Civita d ordre N , aussi appelé pseudo tenseur unité complètement… …   Wikipédia en Français