Théorème de Green


Théorème de Green

En mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann donne la relation entre une intégrale curviligne autour d'une courbe simple fermée C et l'intégrale double sur la région du plan D délimitée par C.

Ce théorème est nommé d'après le scientifique George Green et se base sur le théorème de Stokes. À ne pas confondre avec le théorème de Green-Ostrogradski, ou théorème de flux-divergence.

Sommaire

Énoncé

Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux.

Théorème de Green — Soit C, une courbe plane simple, positivement orientée et C1 par morceaux, D le domaine compact lisse du plan délimité par C et Pdx + Qdy une 1-forme différentielle sur \R^2. Si P et Q ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte incluant D, alors :

\int_\mathcal{C} P\,\mathrm dx + Q\,\mathrm dy = \iint_ \mathcal{D} ( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\ )  \mathrm dx\mathrm dy

Notation alternative

Il existe une autre façon de noter ce théorème, qui se rapproche de celle utilisée pour le théorème de Stokes. On se place sur un domaine compact lisse du plan Ω, de bord ∂Ω, en notant la forme différentielle ω. Alors la dérivée extérieure de ω s'écrit :

 \mathrm d\omega = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm dx \wedge \mathrm dy

On peut alors résumer le théorème de Green par la formule :

\oint_{\partial \Omega} \omega = \iint_{\Omega} \mathrm d\omega

Le cercle sur l'intégrale précise que le bord décrit une courbe fermée. En dessinant une flèche dessus, on définit l'orientation — positive ou négative.

Utilisations

Le théorème de Green permet notamment de démontrer l'inégalité de Poincaré, ainsi que le théorème intégral de Cauchy pour les fonctions holomorphes.

Calculs d'aires

L'utilisation du théorème de Green permet de calculer l'aire délimitée par une courbe paramétrée fermée. Cette méthode est concrètement appliquée dans les planimètres.

Soit D un domaine du plan auquel le théorème de Green s'applique et soit C = \partial D sa frontière, orientée positivement par rapport à D. On a :

\mathcal{A(D)} = \iint_\mathcal{D} \mathrm dx \mathrm dy = \int_\mathcal{C} -y \mathrm dx = \int_\mathcal{C}  x \mathrm dy = 1/2 \int_\mathcal{C} -y \mathrm dx + x \mathrm dy

en prenant respectivement  P \left( x, y \right) = -y et  Q \left( x, y \right) = 0, ou bien  P \left( x, y \right) = 0 et  Q \left( x, y \right) = x, ou enfin  P \left( x, y \right) = -y/2 et  Q \left( x, y \right) = x/2.

On traite ici l'exemple du disque unité D, dont le bord est le cercle unité C paramétré par :

 t \to \left( \cos{t}, \sin{t} \right)

et de longueur . En prenant par exemple  P \left( x, y \right) = 0 et  Q \left( x, y \right) = x , on obtient :

\mathcal{A} = \int_\mathcal{C} x\,\mathrm dy = \int_{0}^{2\pi} \cos^2 (t)\,\mathrm dt = \pi .

On a ainsi montré que l'aire du disque unité est π.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Green de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème de green — Articles d analyse vectorielle Objets …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Green-Riemann — Théorème de Green Articles d analyse vectorielle Objets …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Green Riemann — Théorème de Green Articles d analyse vectorielle Objets …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Green-Ostrogradski — Théorème de flux divergence Articles d analyse vectorielle …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Green-Ostrogradsky — Théorème de flux divergence Articles d analyse vectorielle …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Green-Tao — En mathématiques, plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Green Tao, dû aux mathématiciens Ben Green et Terence Tao en 2004[1], s énonce de la façon suivante : « La suite des nombres premiers contient des suites… …   Wikipédia en Français

  • Green Riemann — Théorème de Green Articles d analyse vectorielle Objets …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Stokes — Théorème de Stokes Pour les articles homonymes, voir Stokes. Articles d analyse vectorielle …   Wikipédia en Français

  • Théorème de stokes — Pour les articles homonymes, voir Stokes. Articles d analyse vectorielle …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de flux-divergence — Théorème de flux divergence Articles d analyse vectorielle …   Wikipédia en Français


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.