Dirichlet (Homonymie)

Dirichlet (homonymie)

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Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet est un mathématicien allemand du XIX^e siècle dont le travail est surtout en théorie des nombres.

Arithmétique

Plusieurs théorèmes portent son nom :

• Le théorème de Dirichlet détermine que pour tous entiers naturels non nuls a et b premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers congrus à a modulo b.
• Le théorème des unités de Dirichlet détermine le rang du groupe d'unités dans l'anneau.

Fonctions

Des fonctions mathématiques portent son nom :

• Un caractère de Dirichlet est une fonction $\chi\,$ de l'ensemble des nombres entiers dans l'ensemble des nombres complexes.
• Le noyau de Dirichlet est un polynôme trigonométrique qui intervient notamment dans l'étude de la convergence des séries de Fourier.
• Le produit de convolution de Dirichlet ou le produit de Dirichlet est une loi de composition définie sur l’ensemble des fonctions arithmétiques.
• On appelle aussi fonction de Dirichlet la fonction caractéristique de $\mathbb{Q}$. C'est une fonction partout discontinue, donnée comme exemple de fonction non intégrable (à l'époque)^[1].

Plus particulièrement, certaines concernent la fonction zêta de Riemann :

• La série de Dirichlet est la forme générale de la fonction zêta de Riemann.
• La fonction β de Dirichlet est un des exemples les plus simples de fonction zêta de Riemann.
• La fonction êta de Dirichlet est définie à partir de la fonction zêta de Riemann.

Références

1. ↑ L. Dirichlet, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, paru dans le Journal de Crelle, J. Reine Angew. Math 4 (1829) 157-169, reproduit dans Jean-Pierre Kahane, Pierres Gilles Lemarié-Rieusset, Séries de Fourier et ondelettes, Cassini (1998), 48-60).

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