Compactifié d'Alexandroff

Soit $X\,\!$ un espace topologique séparé et localement compact, mais non compact. On peut, en ajoutant un point à $X\,\!$, obtenir un espace compact. Pour cela, on considère $\tilde{X} = X \cup \{\omega\}$ où $\omega \not\in X$, et on définit une topologie de la manière suivante.

L'ensemble des ouverts de $\tilde{X}$ est constitué par :

• les ouverts de $X\,\!$,
• les sous-ensembles de la forme $\{\omega\} \cup K^c$, où $K^c\,\!$ est le complémentaire dans X d'un compact $K\,\!$ de $X\,\!$.

On vérifie que l'on définit bien ainsi une topologie sur $\tilde X$, et que la topologie initiale sur $X\,\!$ est identique à la topologie induite sur $X\,\!$ par cette topologie sur $\tilde X$.

On vérifie enfin que $\tilde X$ muni de cette topologie est un espace compact.

L'espace $\tilde X$ s'appelle alors le compactifié d'Alexandroff de l'espace localement compact $X\,\!$ ; $\omega\,\!$ s'appelle le point à l'infini de $\tilde X$ et se note également $\infty$.

Exemples

Le compactifié d'Alexandroff de $\mathbb R^n$ est homéomorphe à la n-sphère.

Par exemple le compactifié d'Alexandroff de $\mathbb R$ est homéomorphe à un cercle, celui de $\mathbb R^2$ (ou $\mathbb{C}$) à une sphère, appelée communément sphère de Riemann.

Le point ajouté à l'espace peut être imaginé comme un point "à l'infini" : à l'infini la droite réelle se "referme" en un cercle.

Voir aussi

Articles connexes

• Compactification
• Pavel Aleksandrov

Lien externe

Le compactifié d'Alexandrov sur le site les-mathematiques.net