Compactification (Mathématiques)


Compactification (Mathématiques)

Compactification (mathématiques)

En topologie, la compactification est un procédé général de plongement d'un espace topologique comme sous-espace dense d'un espace compact. Le plongement est appelé le compactifié. L'existence d'un tel plongement implique que l'espace doit être supposé régulier, en fait même complètement régulier .

En topologie générale, les plus célèbres compactifications sont :

  • la compactification d'Alexandroff, permettant le prolongement de toute fonction continue admettant une limite en l'infini ; elle se fait par un seul point ajouté, et l'espace donné doit être localement compact pour cela soit possible ;
  • la compactification de Stone-Čech, autorisant le prolongement au compactifié de toute fonction continue bornée ; cette compactification existe toujours si l'espace est complètement régulier ;
  • et la compactification de Bohr pour les groupes topologiques, autorisant le prolongement au compactifié de toute fonction presque périodique.

Ces compactifications se définissent à unique homéomorphisme près. Elles peuvent se caractériser par des propriétés universelles : chacun de ces compactifiés se définit comme le spectre d'une algèbre fonctionnelle.

Néanmoins, d'un point de vue géométrique, une compactification consiste à ajouter des points à l'infini, et d'en définir les voisinages.

Sommaire

Spectre d'algèbres

Exemples de compactifications

Compactifié d'Alexandroff

Article détaillé : Compactifié d'Alexandroff.

Compactifié de Stone-Čech

Compactifié de Bohr

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