Variété kählérienne

En mathématiques, une variété kählerienne ou variété de Kähler est une variété différentielle équipée d'une structure unitaire satisfaisant une condition d'intégrabilité. C'est en particulier une variété riemannienne, une variété symplectique et une variété complexe, ces trois structures étant mutuellement compatibles. Les variétés kähleriennes sont un objet d'étude naturel en géométrie différentielle complexe.

Elles doivent leur nom au mathématicien Erich Kähler.

Définition

Une multitude de définitions équivalentes existent. Ceci est dû, en partie, aux relations entre structures complexes, symplectiques et riemanniennes. Une manière de le comprendre est de constater que le groupe unitaire U(n) (qui joue le rôle de groupe de structure d'une variété kählerienne) est l'intersection d'un couple quelconque des trois groupes $GL_n(\C)$, Sp(n) et O(2n).

Donnons deux définitions équivalentes.

1. Une variété kählerienne est une variété hermitienne M (i.e. une variété complexe munie d'une métrique hermitienne h) telle que la 2-forme ω = − Imh soit fermée.
2. Une variété kählerienne est une variété riemannienne (M,g) munie d'une structure presque complexe I orthogonale (pour g) et constante covariante (pour la connexion de Levi-Civita).

La condition d'intégrabilité s'écrit dans le premier cas dω = 0, dans le second cas $\nabla I = 0$. Elle exprime géométriquement le fait que le transport parallèle soit linéaire complexe. On dit dans ce cas que g (ou parfois h) est une métrique kählerienne sur M. On appelle la forme symplectique ω la forme de Kähler de la variété kählerienne M.

Le lien entre les structures hermitienne h, riemannienne g et symplectique ω est apparent à travers la relation h = g − iω.

Propriétés

Les variétés kähleriennes sont des objets riches en géométrie différentielle. Il y a d'ailleurs des obstructions topologiques à l'existence d'une métrique kählerienne sur une variété complexe (contrairement à celle d'une métrique hermitienne par exemple). Il est par exemple facile de voir que la classe de cohomologie d'une forme de Kähler sur une variété compacte ne peut être nulle.

Les variétés kähleriennes sont entre autres le cadre naturel pour développer une théorie de Hodge complexe analogue à celle du cas réel.

Exemples

1. L'espace euclidien complexe $\C^n$ muni de la métrique hermitienne standard (plate) est une variété kählerienne.
2. Un tore complexe compact $\C^n / \Lambda$ (où Λ est un réseau) hérite d'une métrique kählerienne plate par passage au quotient.
3. Toute métrique hermitienne sur une surface est kählerienne (la condition d'intégrabilité étant triviale).
4. L' espace projectif complexe $\C \mathrm{P}^n$ est une variété kählerienne pour la métrique de Fubini-Study.
5. La métrique induite sur une sous-variété complexe d'une variété kählerienne est encore une métrique kählerienne. En particulier toute variété de Stein (plongée dans un espace euclidien complexe) est kählerienne, ainsi que toute variété algébrique régulière (plongée dans un espace projectif complexe). Ce fait est fondamental pour leur théorie analytique.

Note et référence