Transport parallèle

Connexion (mathématiques)

Transport parallèle sur une sphère

En géométrie différentielle, la connexion est un outil pour réaliser le transport parallèle. La notion a été introduite par par Charles Ehresmann et Jean-Louis Koszul en 1951. Il existe plusieurs présentations qui dépendent de l'utilisation faite.

Connexion de Koszul

Article détaillé : Connexion de Koszul.

La connexion de Koszul est un opérateur sur des espaces de sections. Elle a été introduite en 1951 par Koszul pour les fibrés vectoriels, et utilisée par Nomizu en 1954^[1].

Une connexion de Koszul est une association à toute section globale s d'un fibré vectoriel E de base B, et à tout champ vectoriel sur B, d'une section globale notée $\nabla_Xs$ vérifiant :

1. L'application $X\mapsto \nabla_Xs$ soit $C^{\infty}(M)$-linéaire ; autrement dit, pour toute fonction régulière f, on a :

   $\nabla_{f\cdot X}s=f\cdot\nabla_Xs$.

2. De plus, $\nabla$ doit vérifier la relation de Leibniz :

   $\nabla_{X}(f\cdot s)=df(X)\cdot s+f\cdot \nabla_X(s)$.

La relation de Leibniz démontre que la valeur de $\nabla_Xs$ en un point b de B ne dépend que des variations de s au voisinage de b. La $C^{\infty}(M)$-linéarité implique que cette valeur ne dépend que de X(p).

Connexion d'Ehresmann

Article détaillé : Connexion d'Ehresmann.

Connexion de Levi-Civita

Article détaillé : Connexion de Levi-Civita.

Voir aussi

• Géométrie différentielle
• Variété riemannienne
• Géodésique
• Courbure

Notes et références

Notes

1. ↑ Katsumi Nomizu, Invariant affine connections on homogeneous spaces, Amer. J. Math. 76 (1954), pp. 33-65.

Références

• (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry [détail des éditions]
• Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine ; Riemannian Geometry [détail des éditions]

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