Facteur Direct D'un Module


Facteur Direct D'un Module

Facteur direct d'un module

Soit M un A-module. Deux sous-modules N et P sont supplémentaires lorsque M est somme directe de N et P. Ceci équivaut évidemment à :

\quad M=N+P et \quad N\cap P=\{0\}

Un sous-module N d'un A-module M est facteur direct s'il possède un supplémentaire.

Propriétés

  • Si N est un facteur direct de M, alors tous ses supplémentaires sont isomorphes au quotient M/N.
  • Soit N un sous-module de M. Si M/N est libre, alors N est facteur direct.
  • Pour que N soit facteur direct de M, il faut et il suffit qu'il existe un endomorphisme p de M (appelé projecteur) vérifiant les deux conditions suivantes :
    • \quad p(M)=N
    • \quad p^2=p
  • Soient F et S deux sous-modules d'un A-module M. Si S est simple, alors \quad S\subset F ou S\cap F=\{0\}.
  • Pour qu'un A-module soit semi-simple, il faut et il suffit que tous ses sous-modules soient facteur direct.
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