Puissance exterieure


Puissance exterieure

Puissance extérieure

La puissance extérieure p-ième d'un module E (sur un anneau commutatif) est une construction en algèbre extérieure qui est une solution au problème suivant : existe-t-il un module M, le « plus petit » possible et une application canonique φ : EpM telle que pour toute application multilinéaire alternée f définie sur Ep à valeur dans un module F quelconque, il existe une unique application g définie sur M à valeurs dans F telle que f = g \circ \varphi ?

Construction du produit extérieur

On considère le produit tensoriel :

\begin{matrix} N = \bigotimes^p E & = & \underbrace{E \otimes_A \cdots \otimes_A E} \\ & & p \end{matrix}

On sait que toute application multilinéaire f : E^p \to F est en correspondance avec une application linéaire h : N \to F telle que :

\forall (x_1, \dots, x_p) \in E^p, f(x_1, \dots, x_p) = h(x_1 \otimes \cdots \otimes x_p)

Comme f est alternée, l'application h s'annule en tous les tenseurs décomposables x_1 \otimes \cdots \otimes x_p tels qu'il existe i,j deux indices différents vérifiant xi = xj. Considérons le sous-module C de N engendré par les tenseurs de cette forme. Comme C est incluse dans le noyau de h, il existe une unique application multilinéaire g du module quotient N/C telle que :

\forall (x_1, \dots, x_p) \in E^p, g(\overline{x_1 \otimes \cdots \otimes x_p}) = h(x_1 \otimes \cdots \otimes x_p) = f(x_1, \dots,x_p)

On appelle donc puissance extérieur le quotient N/C et on le note \bigwedge^p E. Si (x_1, \dots, x_p) \in E^p, la classe de l'élément x_1 \otimes \cdots \otimes x_p se note x_1 \wedge \cdots \wedge x_p (au lieu de \overline{x_1 \otimes \cdots \otimes x_p} comme écrit précédemment).

Rang, dimension d'un produit extérieur

Lorsque E est un module libre de type fini sur un anneau commutatif A, il possède une base finie (e_1, \dots e_n) et la famille suivante :

F = \{e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_p}, 1 \leq i_1 < \cdots < i_p \leq n\}

est une base du produit extérieur \bigwedge^p E.

En particulier, on déduit le résultat surprenant suivant : deux bases finies (ei) et (fj) d'un module sur un anneau commutatif ont même cardinal. En effet, soit n le cardinal de l'une, et m le cardinal de l'autre. Supposons n < m. Le produit extérieur \bigwedge^n E est vide, car en utilisant la propriété précédente, on déduit que la famille vide est une base de \bigwedge^n E, par ailleurs, la famille \{f_{j_1} \wedge \cdots \wedge f_{j_n}, 1 \leq j_1 < \cdots < j_n \leq m\} qui est non vide est également une base. D'où la contradiction, donc n \geq m, par symétrie on déduit m \geq n, d'où n = m.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Puissance ext%C3%A9rieure ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Puissance exterieure de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Puissance extérieure — La puissance extérieure p ième d un module E (sur un anneau commutatif) est une construction en algèbre extérieure qui est une solution au problème suivant : existe t il un module M, le « plus petit » possible et une application… …   Wikipédia en Français

  • Puissance virtuelle — Principe des puissances virtuelles Le principe des puissances virtuelles ou PPV est un principe fondamental en mécanique, qui postule un équilibre de puissance dans un mouvement virtuel, il s agit d une formulation duale du PFD. Il permet de… …   Wikipédia en Français

  • Puissance douce — Soft power Le soft power (ou « puissance douce ») est un concept utilisé en relations internationales et développé par le professeur américain Joseph Nye (et repris depuis une décennie par de nombreux leaders politiques tels que Colin… …   Wikipédia en Français

  • Puissance du libéralisme — Libéralisme Pour les articles homonymes, voir Libéralisme (homonymie).  Ne doit pas être confondu avec Libertaire ou Libertarianisme. Le libéralisme est un courant de pensée de philosophie politique, né d une opposition à l absolutisme et au …   Wikipédia en Français

  • Algebre exterieure — Algèbre extérieure Hermann Grassmann, date inconnue. En algèbre et en analyse vectorielle, l algèbre extérieure d un espace vectoriel E est une algèbre graduée, notée Λ * E. Une présentation informelle de cette algèbre est donnée dans la première …   Wikipédia en Français

  • Algèbre Extérieure — Hermann Grassmann, date inconnue. En algèbre et en analyse vectorielle, l algèbre extérieure d un espace vectoriel E est une algèbre graduée, notée Λ * E. Une présentation informelle de cette algèbre est donnée dans la première partie ci dessous …   Wikipédia en Français

  • Algèbre extérieure — Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie). Hermann Grassmann, date inconnue. En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en analyse vectorielle …   Wikipédia en Français

  • Politique exterieure francaise de 1814 a 1914 — Politique extérieure française de 1814 à 1914 Ayant perdu son Premier espace colonial (bleu clair), la France va s employer à se reconstruire, se rétablir sur la scène internationale, et se reconstituer un Second espace colonial (bleu foncé) La… …   Wikipédia en Français

  • Politique extèrieure française de 1814 à 1914 — Politique extérieure française de 1814 à 1914 Ayant perdu son Premier espace colonial (bleu clair), la France va s employer à se reconstruire, se rétablir sur la scène internationale, et se reconstituer un Second espace colonial (bleu foncé) La… …   Wikipédia en Français

  • Politique extérieure française de 1814 à 1914 — Ayant perdu son premier espace colonial (bleu clair), la France va s employer à se reconstruire, se rétablir sur la scène internationale, et se reconstituer un second espace colonial (bleu foncé) La France, malgré une position de départ très… …   Wikipédia en Français