Module Fidèle


Module Fidèle

Module fidèle

Un module M sur un anneau A e est dit fidèle si son annulateur est réduit à {0}, en d'autres termes, si l'action de chaque \alpha \in A \setminus \{0\} est non triviale (\alpha \cdot x \neq 0 pour un certain x \in M). Autrement dit, un module est fidèle si la représentation associée \psi : A \to End(M) est injective.

À chaque module, on peut associer un module fidèle en procédant de cette manière. Le morphisme d'anneaux \psi : A \to End(M) se factorise en un morphisme injectif \tilde\psi : A/\ker\psi \to End(M). Comme \ker\psi n'est autre que Ann(M), \tilde\psi donne à M une structure de A / Ann(M)-module, et cette fois M est fidèle puisque \tilde\psi est injective.

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