Module Semi-Simple


Module Semi-Simple

Module semi-simple

Camille Jordan, auteur du théorème clé de la théorie

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, un A-moduleA désigne un anneau est qualifié de semi-simple ou de complètement réductible si et seulement s'il est somme directe de facteurs directs, c’est-à-dire de sous-modules qui ne possèdent d'autres sous-modules que l'ensemble nul et le sous-module lui-même.

Les propriétés des modules semi-simples sont utilisées en algèbre linéaire pour l'analyse des endomorphismes, dans le cadre des algèbres semi-simples et pour la théorie des représentations des groupes.

Sommaire

Définitions

Plusieurs définitions sont nécessaires à la compréhension de la notion de module et d'algèbre semi-simple. A désigne un anneau unitaire non nécessairement commutatif et M un A-module sur l'anneau A. K désigne un corps non nécessairement commutatif.

  • M est dit simple si et seulement s'il n'admet comme sous-module que l'ensemble nul ou lui-même.

K est un module simple considéré comme un espace vectoriel sur lui-même. L'anneau des entiers Z n'est pas un Z-module simple, en effet tout sous-module n.Z si n est un entier contient le sous-module 2.nZ.

Le corps des nombres complexes est un module en tant qu'espace vectoriel réel, R l'ensemble des nombres réels est un facteur invariant.

  • Un module M est dit semi-simple si et seulement si tout sous-module est facteur direct.
  • Un espace vectoriel E est un module semi-simple. En effet, si (ei) est une base de E, alors les espaces vectoriels engendrés par un unique élément de la base sont clairement simples, leur somme directe est égale à E.

Enfin une définition est essentielle pour établir la théorie :

La longueur d'un module correspond un peu à la dimension dans le cas des espaces vectoriels.

Exemples

Espace vectoriel des endomorphismes

Article détaillé : Réduction de Jordan.

L'exemple historique qui a amené à étudier les premières études sur ce qui est devenu plus tard la définition des modules semi-simples correspond à des modules correspondant à des idéaux de l'espace des endomorphismes. Supposons le corps K commutatif et algébriquement clos, et V un espace vectoriel de dimension finie sur K. Si L(V) désigne l'espace vectoriel des endomorphismes, alors une sous-algèbre M de L(V) est un module sur l'anneau M. Il existe un résultat important concernant ce type de module :

  • Soit φ un endomorphisme de L(V), la sous-algèbre engendrée par φ est un module sur lui-même. Il est semi-simple si et seulement si le polynôme minimal de φ n'admet pas de racine multiple.

Ce résultat est l'application directe de la réduction de Jordan, si le polynôme minimal de φ n'a pas de racine multiple, alors l'algèbre engendrée par φ est composée d'une somme directe des homothéties dans chaque sous-espace propre. Si m désigne le nombre de sous-espace propre, le module est isomorphe à Km. Dans le cas contraire, il existe une composante nilpotente qui rend un sous-espace caractéristique non semi-simple.

Structure de G-module

Article détaillé : Algèbre d'un groupe fini.

Un exemple qui a largement fait évoluer la théorie est celui des G-modules ou G désigne un groupe. L'anneau associée correspond à la structure d'algèbre sur un corps K commutatif des combinaisons linéaires formelles des éléments de G :

  • La K-algèbre du groupe G, noté K[G] est l'espace vectoriel des combinaisons linéaires formelles des éléments de G et muni de la multiplication suivante :
\forall (a_s)_{s\in G}\in \mathbb K^G \; \forall (b_t)_{t\in G}\in \mathbb \mathbb K^G \quad \Big(\sum_{s\in G} a_s.s\Big)\Big(\sum_{t\in G} b_t.t\Big)= \sum_{s\in G}\sum_{t\in G} a_sb_t.st

Soit (V, ρ) une représentation, la fonction ρ se prolonge sur K[G] de la manière suivante :

\forall k \in \mathbb K[G] \quad \exists (a_s)_{s \in G} \in \mathbb K^G \quad avec \quad k = \sum_{s \in G} a_s.s \quad alors \quad \rho (k)= \sum_{s \in G} a_s.\rho(s)

Le théorème de Maschke montre que sous G-module est un facteur direct, en conséquence un un G-module est un module semi-simple.

Propriétés

Propriétés élémentaires

La définition possède différentes manières de s'exprimer :

  • Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
(i) M est un module semi-simple.
(ii) M est somme de sous-modules simples.
(iii) Tout sous-module est un facteur direct.

Démontrons ces propositions. Pour éviter l'utilisation du lemme de Zorn M est supposé de la longueur finie dans tout ce paragraphe. La proposition reste vraie sans cette hypothèse.

Un lemme est nécessaire pour établir ces équivalences :

  • Si l'hypothèse (ii) de la proposition précédente est vérifiée, c’est-à-dire qu'il existe une suite (Si) pour i variant de 1 à n de sous-modules simples non nuls dont la somme est égale à M et si N est un sous-module de M, alors il existe un sous-ensemble J de [1, n] tel que N et (Sj) pour j parcourant J soit en somme directe égal à M.

En effet, on remarque tout d'abord que la chaîne Cp des sommes de Si pour i variant de 1 à p est strictement croissante, elle est donc finie. Définissons J comme le sous-ensemble maximal au sens de l'inclusion de [1, n] tel que N et (Sj) pour j parcourant J soit une somme directe. Soit P la somme directe de N et des (Sj) pour j parcourant J. L'objectif est de montrer que P est égal à M. Pour cela considérons l'intersection de P et de Si pour i élément de [1, n]. L'intersection est non nulle car sinon J ne serait pas maximal, elle contient Si car cette intersection est un sous-module et que Si est simple. P est un sous-module contenant tous les Si et donc est égal à M, ce qui termine la démonstration.

Démontrons les équivalences de la proposition :

(i) implique (ii) est immédiat.

(ii) implique (iii) est une conséquence directe du lemme.

(iii) implique (i) procédons par récurrence sur la longueur l de M. Si l est égal à 1, le module est simple donc semi-simple. Supposons la propriété vraie à l'ordre p et que l est égal à p + 1. Soit m un élément non nul de M, l'intersection A de tous les sous modules contenant m est un sous-module simple. Comme A est un facteur direct, il existe un sous-module B tel que A et B soit, en somme directe, égal à M. B est un module tel que tout sous-module est un facteur direct et sa longueur est plus petite ou égale à p. B est donc une somme directe de modules simples, l'adjonction du module simple A fournit la somme directe recherchée.

La structure d'un module semi-simple est une somme directe de sous-modules simples, on en déduit :

  • Supposons que M ne soit pas semi-simple, alors la somme de tous les sous-modules simples de M est un sous-module semi-simple, c'est le plus grand au sens de l'inclusion.
  • Tout sous-module d'un module semi-simple est semi-simple.

Soit S un sous-module de M. Soit P un sous-module de S, il admet un supplémentaire dans M, l'intersection de ce supplémentaire et de S est un supplémentaire de P dans S.

Lemme de Schur

Article détaillé : Lemme de Schur.

Le lemme de Schur est un lemme technique explicitant la nature des morphismes entre un module semi-simple et un module simple. Il est à la fois simple à exprimer et à démontrer, cependant ses conséquences sont aussi nombreuses que profondes. Ici M désigne un module semi-simple et S un module simple sur A.

  • Un morphisme de A dans M est soit nul soit injectif, un morphisme de M dans A est soit nul soit surjectif, si de plus M est simple alors un morphisme est soit nul soit bijectif. Si A est commutatif et si le polynôme minimal du morphisme est scindé, les seuls morphismes de S dans S sont les homothéties.

La démonstration est immédiate, il suffit de remarquer que l'image et le noyau d'un morphisme sont des sous-modules et que les seuls sous-modules d'un module simple sont l'ensemble nul ou le module entier. Dans le cas où le polynôme minimal est scindé, le morphisme m admet une valeur propre v et si Id désigne l'identité alors m - v.Id est non injectif, c'est donc un morphisme nul.

La structure d'un morphisme de modules semi-simples est donc aisée à comprendre, il correspond à une somme directe d'automorphismes de sous-modules simples et de morphisme nul.

Décomposition canonique

La décomposition d'un module semi-simple en sous-modules simples n'est pas unique, pour obtenir une décomposition canonique, il est nécessaire de considérer la relation d'équivalence entre les sous-modules simples donnée par les isomorphismes. Deux modules simples sont en relation si et seulement s'il existe un isomorphisme de module entre eux. Il existe un nombre fini n de classes, sinon une chaîne composée d'un représentant Si dans chaque classe serait une somme directe de longueur infinie, ce qui est contraire à notre hypothèse. Soit Ni pour i variant de 1 à n la somme des modules d'une classe donnée. La décomposition suivante est canonique :

  • Si i est un entier entre 1 et n, Ni est le plus grand sous-module ne contenant que des sous-modules simples isomorphes à Si et tous ses sous-modules sont isomorphes à Si. M est somme directe des Ni.
  • Avec les notations précédentes les sous-modules Ni sont appelés facteurs isotypiques de M.

Si un module M ne contient que des sous-modules simples isomorphes deux à deux, alors le module M est qualifié d'isotypique.

Cette décomposition se généralise au cas ou la longueur du module n'est pas finie.

Démonstration dans le cas d'une longueur finie :

Montrons dans un premier temps par récurrence sur la longueur de Ni que ce sous-module est somme directe de sous-modules isomorphes à Si. Si la longueur est égale à un, le module est simple et la conclusion est évidente. Sinon, Si admet un supplémentaire Ti engendré par des sous-modules isomorphes à Si. Comme Ti est un module semi-simple car sous-module d'un module semi-simple est semi-simple, l'hypothèse de récurrence permet de conclure que Ti est une somme directe de sous-modules.

Montrons ensuite que tout sous-module simple P de Ni est isomorphe à Si. Soit (pj) la famille des projecteurs associés à une décomposition en somme directe de Ni en sous-modules simples isomorphes à Si. L'image de P par les pj, d'après le lemme de Schur est soit réduite à l'ensemble nul soit isomorphe à P. Comme P est non réduit à l'élément neutre, il existe au moins un projecteur ayant une image non triviale, ce qui permet de conclure.

Montrons alors que si i et j sont deux entiers compris entre 1 et n, l'intersection de Ni avec Nj est réduit à l'élément neutre. Cette intersection est un sous-module, elle est donc soit nulle soit elle contient un sous-module simple. Si elle contient un sous-module simple, il est à la fois isomorphe à Si et à Sj, ce qui est impossible, l'intersection est donc réduite à l'élément nul.

Montrons enfin que la somme des Ni est égal à M. Considérons une décomposition de M en sous-modules simples. Ils sont tous isomorphes à un élément de la famille des (Si). Soit Mi la somme directe de tous les éléments de la décomposition de M isomorphes à Si. La famille des Mi possède pour somme M, chaque Mi est inclus dans Ti, ce qui permet de conclure.

Voir aussi

Liens externes

Références

  • Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]
  • N. Bourbaki, Algèbre commutative Chapitre VIII et IX Masson 1983
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