Espace affine

En géométrie, un espace affine est un espace qui généralise la notion d'espace vectoriel. Dans un espace affine on peut parler d'alignement, de parallélisme, de rapport de proportionnalité. Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva, sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel). Un espace affine peut être vu comme un espace vectoriel « dont on a oublié l'origine »^[1]. Ainsi les translations sont des transformations affines (c'est-à-dire qu'elles conservent la structure d'espace affine), mais pas vectorielles en général. Les homothéties (de centre un point quelconque de l'espace), mais aussi par exemple les transvections ou les dilatations sont aussi des applications affines.

Définitions et premières propriétés

La définition d'espace affine s'appuie sur celle d'espace vectoriel^[2] sur un corps, qui est le corps des nombres réels pour la géométrie affine « classique ». Les éléments de l'espace affine sont appelés points, ceux de l'espace vectoriel associé vecteurs, et ceux du corps associé scalaires. Une opération fondamentale des espaces affines associe à deux points A et B dans cet ordre de l'espace un vecteur appelé vecteur (A, B) et noté ^{${\overrightarrow{\scriptstyle AB}}$}. Dans ce contexte les couples de points sont souvent appelés bipoints, un bipoint (A,B) a pour origine A, pour extrémité B et définit donc un vecteur ^{${\overrightarrow{\scriptstyle AB}}$}. Une autre opération fondamentale associe à un point A et un vecteur ^{$\vec u$} un autre point, appelé translaté de A par ^{$\vec u$}, et souvent noté A + ^{$\vec u$} (notation de Grassmann). Ces opérations sont liées : B est le translaté de A par le vecteur défini par le bipoint (A, B), en fait on aura :

B = A + ^{$\vec u$}   si et seulement si   ^{${\overrightarrow{\scriptstyle AB}}= \vec u$},

c'est-à-dire que chacune de ces deux opérations peut se définir en fonction de l'autre.

La définition qui suit s'appuie sur la première de ces deux opérations. Une définition équivalente, qui s'appuie sur la seconde, est donnée en fin d'article.

Première définition

Étant donné un espace vectoriel V sur un corps K, un espace affine de direction V est un ensemble non vide E muni d'une application qui à chaque bipoint (A, B) de E, associe un élément de V, noté ^{${\overrightarrow{\scriptstyle AB}}$} vérifiant les deux propriétés suivantes^[3] :

(A1) $\forall\ ( A , B , C ) \in E^3 ,\ \ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \,$     (relation de Chasles)

(A2) $\forall\ A \in E , \forall\ \vec v \in V , \exists!\ B \in E, \ \ \overrightarrow{AB} = \vec v \,$     (existence et unicité d'un translaté)

La propriété (A2) assure, pour tout point A et tout vecteur ^{$\vec u$}, l'existence et l'unicité d'un point B vérifiant ^{${\overrightarrow{\scriptstyle AB}}= \vec u$}, que l'on nomme, comme indiqué en introduction, translaté de A par ^{$\vec u$}. La propriété annoncée en introduction suit de cette définition. Étant donné un vecteur ^{$\vec u$} de V, l'application qui à un point A de E associe son translaté par le vecteur ^{$\vec u$} est appelée translation de vecteur ^{$\vec u$}.

Si on fixe un point origine O, par définition d'un espace affine, il existe une application de E dans V qui à un point M de E associe le vecteur ^{${\overrightarrow{\scriptstyle OM}}$}. La propriété (A2) énonce que cette application est bijective pour tout point O. Cette correspondance permet, par choix d'une origine, de munir (de façon non canonique) l'espace affine E d'une structure d'espace vectoriel isomorphe à V.

Inversement, étant donné un espace vectoriel V, il est possible de définir (de façon canonique) une structure d'espace affine sur V par l'application qui au couple de vecteur (u, v) de V associe le vecteur v - u.

Il arrive d'ailleurs^[4] que ce que l'on a noté dans un espace affine ^{${\overrightarrow{\scriptstyle AB}}$} soit noté B - A, et quand cet espace affine est un espace vectoriel muni de sa structure affine canonique, les notations sont cohérentes, de même qu'avec la notation de Grassmann, qui donne B = A + (B - A).

Propriétés élémentaires

Les propriétés suivantes découlent directement de la définition d'espace affine (c'est-à-dire des axiomes (A1) et (A2)). Soient $A , B , C, D\,$ et $A_1,...,A_n \,$ des points quelconques dans un espace affine $\mathcal E \,$. Nous avons alors :

• $\overrightarrow{AB} = \vec 0 \Leftrightarrow A = B \,$ ;
• $\overrightarrow{BA} = - \overrightarrow{AB} \,$ ;
• $\overrightarrow{A_1A_n} = \sum_{i = 1}^{n-1} \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ (relation de Chasles généralisée)
• $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \,$ (relation du parallélogramme).

L'espace vectoriel V est appelé direction de l'espace affine E La dimension d'un espace affine est la dimension de l'espace vectoriel qui lui est associé.

Exemples d'espaces affines

On a vu que tout espace vectoriel pouvait être muni d'une structure d'espace affine par l'opération de soustraction vectorielle. Les exemples suivants sont des cas particuliers.

• Le Plan affine réel est le plan $\mathbb R^2$ de direction lui-même en tant qu'espace vectoriel, avec l'opération

$: \begin{array}[t]{lcl} \mathbb R^2 \times \mathbb R^2 & \longrightarrow & { \mathbb R^2 \ \ \ } \\ ( ( x_1 , y_1 ) , ( x_2 , y_2 ) ) & \longmapsto & ( x_2 - x_1 , y_2 - y_1 ) \end{array} \,$

C'est à isommorphisme près le seul espace affine réel de dimension 2.

• L'espace affine réel de dimension 3 se définit de façon analogue :

$:\begin{array}[t]{lcl} \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 & \longrightarrow & { \mathbb R^3 \ \ \ } \\ ( ( x_1 , y_1 , z_1 ) , ( x_2 , y_2 , z_2 ) ) & \longmapsto & ( x_2 - x_1 , y_2 - y_1 , z_2 - z_1 ) \end{array} \,$

• De façon plus générale, si K est un corps quelconque, Kⁿ est muni d'une structure d'espace affine de direction canonique Kⁿ par :

$: \begin{array}[t]{lcl} K^n \times K^n & \longrightarrow & { K^n \ \ \ } \\ ( ( a_1 , a_2 , \dots , a_n ) , ( b_1 , b_2 , \dots , b_n ) ) & \longmapsto & ( b_1 - a_1 , b_2 - a_2 , \dots , b_n - a_n ) \end{array}$

Autre définition

Une autre définition possible s'appuie sur l'opération de translation. Un espace affine de direction l'espace vectoriel V est alors un ensemble non vide E muni d'une application de E × V dans E qui au point A et au vecteur ^{$\vec u$} associe un point de E appelé translaté de A par le vecteur ^{$\vec u$} et noté A + ^{$\vec u$} telle que :

(A1') $\forall A\in E\ \forall \vec u,\,\vec v \in V\ \ (A+ \vec u)+\vec v = A+ (\vec u+\vec v)$

(A2') $\forall (A,\,B)\in E^2\ \exists! \vec u\in V\ \ A +\vec u = B$.

Énoncée de cette façon, cette définition est symétrique de la première, on en déduit les mêmes propriétés en particulier que pour tout point A, A +^{$\vec 0$} = A. mais elle peut s'exprimer autrement. En effet un espace vectoriel est, muni de sa loi additive, un groupe commutatif. L'application qui à un vecteur et un point associe le translaté par ce vecteur est alors une action de groupe d'après (A1') et le fait que pour tout A, A +^{$\vec 0$} = A. L'existence, dans l'axiome (A2') énonce que cette action est transitive, l'unicité a pour conséquence que le vecteur nul ^{$\vec 0$} est le seul vecteur ^{$\vec u$} vérifiant pour tout point A, A +^{$\vec u$} = A, une telle action est dite fidèle, et ceci suffit pour assurer l'unicité.

Un espace affine de direction V peut donc se définir comme un ensemble non vide E sur lequel le groupe additif de V opère transitivement et fidèlement^[5],[4].

Sous-espaces affines

Un sous-espace affine, ou variété linéaire affine d'un espace affine $\mathcal E = ( E , V , \varphi ) \,$ est un triplet $( F , W , \varphi ) \,$ où $F \,$ est inclus dans $E \,$ et $W \,$ est un sous-espace vectoriel de $V \,$, le tout satisfaisant aux deux propriétés suivantes :

• (SA1)   Pour tout couple de points $A \,$ et $B \,$ de $F \,$,   le vecteur ^{$\overrightarrow{AB} \,$} appartient à $W \,$ ;

• (SA2)   Pour tout point $A \,$ de $F \,$ et tout vecteur $\vec v\ \,$ de $W \,$, le point $A + \vec v \,$ appartient à $F \,$.

Le sous-espace vectoriel $W \,$ est appelé la direction du sous-espace affine. La dimension d'un sous-espace affine est tout simplement la dimension de sa direction.

On nomme Hyperplan affine un sous-espace affine dont la direction est un hyperplan de V.

Tout hyperplan affine peut se définir comme ensemble des points $M\in \mathcal E$ vérifiant une équation f(M) = 0, où f est une forme affine, c'est-à-dire une application affine dont la partie linéaire est une forme linéaire.

Notion de parallélisme

Dans un espace affine $\mathcal E \,$, deux sous-espaces affines $( F , W , \varphi ) \,$ et $( F' , W' , \varphi ) \,$ sont parallèles si l'un des sous-espaces vectoriels, $W \,$ ou $W' \,$, est inclus dans l'autre.

Le célèbre cinquième postulat d'Euclide n'est alors qu'un résultat facile à démontrer à partir des définitions et des propriétés des espaces vectoriels :

Théorème (généralisation du cinquième Postulat D'Euclide) : Dans un espace affine $\mathcal E \,$, étant donné un point quelconque $P \,$ et une direction $W \,$, il existe un unique sous-espace affine passant par $P \,$ et ayant $W \,$ comme direction.

Voir aussi

• Application_affine
• Géométrie affine
• Repère affine

Notes et références

1. ↑ Berger 2009, p. 61.
2. ↑ Il existe aussi des approches axiomatiques directes, voir par exemple plan affine de Desargues)
3. ↑ Ladegaillerie 2003, p. 13
4. ↑ ^{a et b} Fresnel 1996, p. 4
5. ↑ Ladegaillerie 2003, p. 14

Bibliographie

• Marcel Berger, Géométrie vivante : ou l'échelle de Jacob, Cassini, coll. « Nouvelle bibliothèque mathématique », 2009 (ISBN 9782842250355) 
• Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie, Hermann, 1996 (ISBN 2 7056 1437 0) .
• Yves Ladegaillerie, Géométrie affine, projective, euclidienne et anallagmatique, Ellipses, 2003 (ISBN 2-7298-1416-7) .