Translation (géométrie)


Translation (géométrie)
Page d'aide sur l'homonymie Pour l’article homonyme, voir Translation
Une translation déplace tous les points d'un objet géométrique d'une même distance selon une direction dans le même sens, c'est-à-dire suivant un vecteur.
Une réflexion selon un axe de symétrie suivie d'une autre réflexion selon un deuxième axe de symétrie parallèle au premier est équivalent à une translation.

En mathématiques, une translation est une transformation géométrique qui correspond à l'idée intuitive de « glissement » d'un objet, sans rotation, retournement ni déformation de cet objet.

Une translation de vecteur \vec{u} est une transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que :

\overrightarrow{MM'} = \vec{u}

On dit alors que M’ est le translaté de M. C'est l'image de M par cette translation.

Une translation de vecteur \scriptstyle{\overrightarrow {AB}} transforme le point M en un point M' tel que ABM'M soit un parallélogramme.

Sommaire

Géométrie « classique »

En géométrie plane et en géométrie dans l’espace, une translation se traduit par un déplacement de toute la figure sans changement ni de la direction, ni du sens, ni des longueurs.

Construire l'image d'une figure par une translation revient à la faire glisser dans une direction, un sens et avec une longueur donnée.

Translation geometrique.png

Conservation : Un tel glissement n'entraîne pas de déformation ni de changement de disposition, donc:

Dans une translation, les longueurs, le parallélisme, la perpendicularité et plus généralement les angles sont conservés.
Une translation transforme une droite en une droite parallèle.
Par une translation, une figure géométrique est transformée en une figure géométrique semblable.

Pour construire l'image d'une figure géométrique, on ne construit donc que l'image de ses points caractéristiques: pour un segment, ses extrémités, pour un triangle, ses trois sommets, pour un cercle, son centre et son rayon, etc.


La translation est la seule transformation qui laisse invariant les vecteurs c’est-à-dire telle que

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'}

La composée de deux translations de vecteur \vec{u} et \vec{v} est une translation de vecteur \vec{u}+\vec{v}. La translation de vecteur nul est l’identité. Ces propriétés confèrent à l’ensemble des translations muni de la loi de composition un statut de groupe commutatif isomorphe à l’ensemble des vecteurs du plan ou de l’espace.

Ce groupe est un sous-groupe du groupe des déplacements, du groupe des homothéties-translation, du groupe des symétries-translation, du groupe des rotations-translation.

Généralisation à un espace affine

On définit de même une translation dans un espace affine quelconque comme la transformation qui, à tout point M associe le point M’ tel que

\overrightarrow{MM'} = \vec{u}

Expressions d’une translation

Coordonnées cartésiennes

Dans le plan, la translation de vecteur \vec{u}(a , b), transforme le point M(x , y) en M'(x' , y') tel que

x' = x + a
y' = y + b

Dans l’espace, la translation de vecteur \vec{u}(a , b , c), transforme le point M(x , y, z) en M'(x' , y', z') tel que

x' = x + a
y' = y + b
z' = z + c

Plus généralement, dans un espace de dimension n, la translation de vecteur \vec{u} de coordonnées (a_i)_{i \in [1, n]}, transforme le point M(x_i)_{i \in [1,n]} en M'(x'_i)_{i \in [1,n]} tel que

x'i = xi + ai pour tout i de i = 1 à n

Expression complexe

Dans le plan complexe, la translation de vecteur \vec{u} d'affixe a (a complexe), transforme le point M(z) d'affixe z en M'(z') d'affixe z' tel que

z' = z + a

Coordonnées homogènes

En travaillant avec les coordonnées homogènes, on peut définir une matrice de translation :

Dans un espace affine de dimension n, la matrice de translation de vecteur \vec{u} (a_i)_{i \in [1, n]} est une matrice de dimension n+1 définie par :

 T_{\mathbf{v}} = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & ...&0 & a_1 \\
0 & 1 &... &0& a_2 \\
...&...&...&...&...\\
0 & 0 &...& 1 & a_n \\
0 & 0 &...& 0 & 1
\end{bmatrix}
. \!

L'écriture de la translation devient alors

 T_{\mathbf{v}} \mathbf{M} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & ...&0 & a_1 \\
0 & 1 &... &0& a_2 \\
...&...&...&...&...\\
0 & 0 &...& 1 & a_n \\
0 & 0 &...& 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\ x_2\\...\\ x_n \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_1+a_1 \\ x_2+a_2 \\...\\ x_n+a_n \\ 1
\end{bmatrix}
= \mathbf{M'}

Cette écriture permet de créer un isomorphisme entre les matrices n+1 de cette forme et l'ensemble des translations dans un espace de dimension n.

L'inverse d'une telle matrice s'obtient en changeant la direction du vecteur:

 T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}} . \!

De même, le produit des matrices revient à faire une somme de vecteurs:

 T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}} . \!

Et puisque l'addition des vecteurs est commutative, le groupe multiplicatif de matrices ainsi créé est un groupe commutatif.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Translation (géométrie) de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Translation (mathematiques elementaires) — Translation (géométrie) Une translation déplace tous les points d un objet géométrique d une même distance selon une direction dans le même sens …   Wikipédia en Français

  • Translation (mathématiques élémentaires) — Translation (géométrie) Une translation déplace tous les points d un objet géométrique d une même distance selon une direction dans le même sens …   Wikipédia en Français

  • GÉOMÉTRIE — La géométrie est communément définie comme la science des figures de l’espace. Cette définition un peu incertaine risque de conduire à inclure dans la géométrie des questions qui ne sont géométriques que dans leur langage, mais relèvent en fait… …   Encyclopédie Universelle

  • Geometrie euclidienne — Géométrie euclidienne Euclide. La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions… …   Wikipédia en Français

  • Geometrie symplectique — Géométrie symplectique La géométrie symplectique est un domaine actif de la recherche mathématique, né de la volonté d une formulation mathématique naturelle à la mécanique classique. Elle est à la rencontre de la géométrie différentielle et des… …   Wikipédia en Français

  • Géométrie Euclidienne — Euclide. La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de …   Wikipédia en Français

  • Géométrie Symplectique — La géométrie symplectique est un domaine actif de la recherche mathématique, né de la volonté d une formulation mathématique naturelle à la mécanique classique. Elle est à la rencontre de la géométrie différentielle et des systèmes dynamiques. En …   Wikipédia en Français

  • Géométrie plane — Géométrie euclidienne Euclide. La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions… …   Wikipédia en Français

  • GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE — L’histoire des courbes planes est intimement liée à l’histoire et aux développements du calcul infinitésimal, et les premiers résultats obtenus au XVIIe siècle sont directement issus de considérations géométriques et cinématiques (cf. CALCUL… …   Encyclopédie Universelle

  • Géométrie en Égypte antique — Géométrie dans l Égypte antique Cet article fait partie de la série Sciences dans l Égypte antique Mathématiques Géométrie Unités de mesure Chiffres Fraction …   Wikipédia en Français


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.