Lemme de Poincaré

Le lemme de Poincaré est un résultat fondamental en analyse à plusieurs variables et en géométrie différentielle. D'après le théorème de Schwarz, toute forme différentielle exacte est fermée. La réciproque est fausse en général, mais le lemme de Poincaré assure qu'elle est vraie sur un ouvert étoilé : toute forme différentielle fermée ω sur un ouvert étoilé est exacte, c'est-à-dire qu'elle est la différentielle d'une fonction f dite primitive de ω : on écrit ω = df.

Théorème — Soit ω = ω₁dx₁ + ω₂dx₂ + ... + ω_ndx_n une forme différentielle de degré un, de classe C¹ sur un ouvert étoilé U. ω est exacte si et seulement si ω est fermée, c'est-à-dire si

$\forall i,j < n,\quad\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} = \frac{\partial \omega_j}{\partial x_i}$

Le fait que l'exactitude implique la clôture est une simple application du théorème de Schwarz.

Démonstration

Considérons une forme différentielle exacte

$\omega = \mathrm df = \omega_1 \mathrm dx_1 + \omega_2 \mathrm dx_2 + \ldots + \omega_n \mathrm dx_n$

de classe C¹. Nous savons par ailleurs que

$\mathrm df = \frac{\partial f}{\partial x_1} \mathrm dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \mathrm dx_2 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n} \mathrm dx_n$

Ainsi pour tout i,j < n

$\omega_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}$ et $\omega_j = \frac{\partial f}{\partial x_j}$

En dérivant ω_i et ω_j respectivement selon x_j et x_i,

$\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$ et $\frac{\partial \omega_j}{\partial x_i} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}$

En vertu du théorème de Schwarz — qui s'applique ici car les ω_i sont supposés de classe C¹ — ces deux dérivées partielles sont égales, d'où

$\forall i,j < n,\quad\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} = \frac{\partial \omega_j}{\partial x_i}$

ce qui achève la démonstration.

La réciproque de cette implication est fausse. Cependant, elle est vraie sur un ouvert étoilé, comme le montre le théorème.

Démonstration

On travaille dans une base (e_k) de l'espace de départ. On suppose que U est étoilé autour de a = (a_i). Soit $\omega = \sum \alpha_k e_k^*$ une forme différentielle de classe C¹ fermée. On pose:

$\begin{array}[t]{lrcl} f : & U & \longrightarrow & E^* \\ & x & \longmapsto & \int_0^1 \omega\big((1-t)a + tx\big)(x-a)\, \mathrm dt \end{array}$

Soit $x = (x_i) \in U$. Pour y donné, on notera y_j le vecteur obtenu en remplaçant la coordonnée indicée j de x par y, autrement dit: y_j = (x_{i < j},y,x_{i > j}). Soit alors V_j un voisinage fermé de x_j vérifiant $\forall y \in V_j, y_{j} \in U$. On pose de plus:

$\begin{array}[t]{lrcl} g_j : & V_j \times [0,1] & \longrightarrow & E^* \\ & (y,t) & \longmapsto & \omega\big((1-t)a + ty_j\big)(y_j-a) \end{array}$

g_j est alors bornée, donc encadrée par des fonctions définies, continues et intégrables sur [0,1].

Alors, d'après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, il vient:

$\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x_i}(x,y) &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial x_i}\omega\big((1-t)a + tx\big)(x-a)\, \mathrm dt \\ &= \int_0^1 \alpha_i\big((1-t)a + tx\big)\, \mathrm dt + \int_0^1 \sum_k t \frac{\partial}{\partial x_i}\alpha_k\big((1-t)a + tx\big)(x_j - a_j)\, \mathrm dt \qquad\mathrm{en~d\acute erivant~comme~un~produit} \\ &= \int_0^1 \alpha_i\big((1-t)a + tx\big)\, \mathrm dt + \int_0^1 t \sum_k \frac{\partial}{\partial x_k}\alpha_i\big((1-t)a + tx\big)(x_j - a_j)\, \mathrm dt \qquad\mathrm{par~fermeture} \\ &= \int_0^1 \alpha_i\big((1-t)a + tx\big)\, \mathrm dt + \Big[ t \alpha_i\big((1-t)a + tx\big) \Big]_0^1 - \int_0^1 \alpha_i\big((1-t)a + tx\big)\, \mathrm dt \qquad\mathrm{par~IPP~en~d\acute erivant~t} \\ &= \alpha_i(x,y) \end{align}$

On a finalement:

df = ω

D'où le résultat.

Le théorème s’interprète également en termes — beaucoup plus formels — de cohomologie de De Rham.

Remarque — On écrit également

$\forall i,j < n,\quad\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} - \frac{\partial \omega_j}{\partial x_i} = 0$

ce qui correspond, en dimension trois, à

$\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\Omega = \mathbf 0$

avec

$\Omega = \begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}$.

Remarque — D'autre part, on peut écrire ω sous la forme

$\omega = \Omega \circ \mathrm d\mathbf r$

où le cercle dénote le produit scalaire, avec

$\Omega = \begin{pmatrix}\omega_1\\\vdots\\\omega_n\end{pmatrix}$ et $\mathrm d\mathbf r = \begin{pmatrix}\mathrm dx_1\\\vdots\\\mathrm dx_n\end{pmatrix}$

ce qui montre que si ω = df

$\Omega = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\, f$.