Liste Des Groupes Finis Simples

Liste Des Groupes Finis Simples

Liste des groupes finis simples

En mathématiques, la classification des groupes finis simples établit que chacun de ces groupes est soit un cyclique, soit alterné, soit membre d'une des seize familles de groupes de type de Lie (incluant le groupe de Tits), soit l'un des 26 groupes sporadiques (le groupe de Tits est parfois inclus dans les groupes de type de Lie, d'autres fois dans les groupes sporadiques).

La liste ci-dessous recense les groupes finis simples en les organisant par famille et précise à chaque fois leur ordre, la taille de leur multiplicateur de Schur, celle de leur groupe d'automorphisme extérieur et éventuellement certaines représentations habituelles. Les groupes finis simples sont déterminés par leur ordre, excepté les groupes Bn(q) et Cn(q) dont l'ordre est identique pour n > 2 et q impair, et les groupes A8 (ou A3(2)) et A2(4) dont l'ordre est 20 160.

À titre de notation, dans cette liste, n désigne un entier positif, p un nombre premier et q une puissance entière de p. L'ordre du groupe d'automorphisme extérieur est donné sous la forme d·f·g, où d est l'ordre du groupe des automorphismes diagonaux, f est celui du groupe d'automorphismes de corps (engendrés par un automorphisme de Frobenius) et g celui du groupe des automorphismes de graphe (provenant des automorphismes du diagramme de Dynkin).

Sommaire

Familles infinies

Groupes cycliques Zp

Article détaillé : Groupe cyclique.
Notation 
Zp
Autres noms 
Z/pZ
Simplicité 
Toujours simples.
Ordre 
p
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Cyclique d'ordre p-1.
Remarque 
Les groupes cycliques sont les seuls groupes simples qui ne sont pas parfaits.

Groupes alternés An

Article détaillé : Groupe alterné.
Notation 
An, pour n > 4. Il existe un conflit avec la notation des groupes de type Lie An(q) qui n'ont aucun lien avec les groupes alternés ; certains auteurs utilisent des polices distinctes afin de les distinguer.
Autre noms 
Altn.
Simplicité 
Résolubles pour n < 5, simples dans le cas contraire.
Ordre 
\frac{n!}{2} pour n > 1.
Multiplicateur de Schur 
2 pour n = 5 ou n > 7, 6 pour n = 6 ou 7.
Groupe d'automorphisme extérieur 
En général 2. Exceptions : pour n = 1, n = 2, il est trivial, et pour n = 6, il possède un ordre 4 (abélien élémentaire).
Isomorphismes 

A1 et A2 sont triviaux. A3 est cyclique d'ordre 3. A4 est isomorphe à A1(3) (résoluble). A5 est isomorphe à A1(4) et à A1(5). A6 est isomorphe à A1(9)et au groupe dérivé B2(2)′. A8 est isomorphe à A3(2).

Remarques 
Un sous-groupe d'index 2 du groupe symétrique de permutations de n points lorsque n > 1.

Groupes classiques

Groupes de Chevalley linéaires An(q)

Article détaillé : Groupes de Chevalley.
Notation 
An(q)
Autres noms 
Groupes linéaires projectifs spéciaux, PSLn+1(q), Ln+1(q), PSL(n+1,q)
Simplicité 
A1(2) et A1(3) sont résolubles, les autres sont simples.
Ordre 
{1\over (n+1,q-1)}q^{n(n+1)/2}\prod_{i=1}^n(q^{i+1}-1)
Multiplicateur de Schur 
Pour les groupes simples, il est cyclique d'ordre (n+1, q − 1), excepté pour A1(4) (ordre 2), A1(9) (ordre 6), A2(2) (ordre 2), A2(4) (ordre 48, produit de groupes cycliques d'ordres 3, 4, 4), A3(2) (ordre 2).
Groupe d'automorphisme extérieur 
(2, q − 1) ·f·1 pour n = 1 ; (n+1, q − 1) ·f·2 pour n > 1, où q = pf.
Isomorphismes 
A1(2) est isomorphe au groupe symétrique sur 3 points d'ordre 6. A1(3) est isomorphe au groupe alterné A4 (résoluble). A1(4) et A1(5) sont isomorphes, et tous deux isomorphes au groupe alterné A5. A1(7) et A2(2) sont isomorphes. A1(8) est isomorphe au groupe dérivé G2(3)′. A1(9) est isomorphe à A6 et au groupe dérivé B2(2)'. A3(2) est isomorphe à A8.
Remarques 
Ces groupes sont obtenus à partir des groupes linéaires généraux GLn+1(q) en prenant les éléments de déterminant 1 (donnant les groupes linéaires spéciaux SLn+1(q)) puis après mise en quotient par le centre.

Groupes de Chevalley orthogonaux Bn(q)

n > 1

Simplicité 
B2(2) est non simple et possède un sous-groupe simple d'index 2; les autres sont simples.
Ordre 

{1\over (2,q-1)}
q^{n^2}
\prod_{i=1}^n(q^{2i}-1)
Multiplicateur de Schur 
(2,q − 1) excepté pour 'B2(2) (non simple), B3(2)

(ordre 2) et B3(3) (ordre 6).

Groupe d'automorphisme extérieur 
(2, q − 1) ·f·1 pour q impair ou n>2; (2, q − 1) ·f·2 si q est pair et n=2, où q = pf.
Autres noms 
O2n + 1(q), Ω2n + 1(q) (pour q impair).
Isomorphismes 
Bn(2m) est isomorphe à Cn(2m). B2(2) est isomorphe au groupe symétrique sur 6 points, et le groupe dérivé B2(2)' est isomorphe à A1(9) et à A6. B2(3) est isomorphe à 2A3(2²).
Remarques 
Ce groupe est obtenu à partir du groupe orthogonal en dimension 2n+1 en prenant le noyau du déterminant et l'application norme de spin. B1(q) existe aussi, mais est le même que A1(q). B2(q) possède un automorphisme de graphe non-trivial lorsque q est une puissance de 2.

Groupes de Chevalley symplectiques Cn(q)

n > 2

Simplicité 
Tous simples.
Ordre 

{1\over (2,q-1)}
q^{n^2}
\prod_{i=1}^n(q^{2i}-1)
Multiplicateur de Schur 
(2,q − 1) excepté pour C3(2)

(ordre 2).

Groupe d'automorphisme extérieur 

(2, q − 1) ·f·1 où q = pf.

Autres noms 
Groupe projectif symplectique, PSp2n(q), PSpn(q) (non recommandé), S2n(q).
Isomorphismes 
Cn(2m) est isomorphe à Bn(2m).
Remarques 
Ce groupe est obtenu à partir du groupe symplectique en 2n dimensions par mise en quotient du centre. C1(q) existe aussi, mais est le même que A1(q). C2(q) existe aussi, mais est le même que B2(q).

Groupes de Chevalley orthogonaux Dn(q)

n > 3

Simplicité 
Tous simples.
Ordre 

{1\over (4,q^n-1)}
q^{n(n-1)}
(q^n-1)
\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2i}-1)
Multiplicateur de Schur 
L'ordre est (4, qn-1) (cyclique pour n impair, abélien élémentaire pour n pair) excepté pour D4(2) (ordre 4, abélien élémentaire).
Groupe d'automorphisme extérieur 

(2, q − 1) ²·f·S3 pour n=4, (2, q − 1) ²·f·2 pour n>4 pair, (4, qn − 1) ²·f·2 pour n impair, où q = pf, et S3 est le groupe symétrique sur 3 points d'ordre 6.

Autres noms 
O_{2n}^+(q), P\Omega_{2n}^+(q).
Remarques 
Ce groupe est obtenu à partir de la séparation du groupe orthogonal en dimension 2n en prenant le noyau du déterminant (ou l'invariant de Dickson en caractéristique 2) et l'application norme de spin puis en supprimant le centre.

Les groupes de type D4 ont un groupe de diagramme d'automorphisme inhabituellement grand d'ordre 6, contenant l'automorphisme de trialité. D2(q) existe aussi, mais est le même que A1(q)\times A_1(q). D3(q) existe aussi, mais est le même que A3(q).

Groupes de Steinberg unitaires ²An(q²)

Autres noms 
groupes de Chevalley tordus, groupes spéciaux projectifs unitaires
Notations 
²An(q²), PSUn+1(q), PSU(n+1, q), Un+1(q), ²An(q), ²An(q,q²), pour n > 1
Simplicité 
²A1(q²) et ²A2(2²) sont résolubles, les autres sont simples.
Ordre 
{1\over (n+1,q+1)}q^{n(n+1)/2}\prod_{i=1}^n(q^{i+1}-(-1)^{i+1})
Multiplicateur de Schur 
Cyclique d'ordre (n + 1, q + 1) pour les groupes simples, excepté pour ²A3(2²) (ordre 2) ²A3(3²) (ordre 36, produit de groupes cycliques d'ordres 3,3,4), ²A5(2²) (ordre 12, produit de groupes cycliques d'ordres 2,2,3)
Groupe d'automorphisme extérieur 
(n+1, q + 1) · f·1 où q² = pf.
Isomorphismes 
Le groupe résoluble {}^2\!A_2(2^2) est isomorphe à une extension du groupe de quaternion d'ordre 8 par un groupe abélien élémentaire d'ordre 9. {}^2\!A_2(3^2) est isomorphe au groupe dérivé G2(2)'. {}^2\!A_3(2^2) est isomorphe à B2(3).
Remarques 
Ceci est obtenu à partir du groupe unitaire en n+1 dimensions en prenant les sous-groupes d'éléments de déterminant 1 puis par mise en quotient en dehors par le centre.

Groupes de Steinberg orthogonaux ²Dn(q²)

n > 3

Simplicité 
Tous simples.
Ordre 

{1\over (4,q^n+1)}
q^{n(n-1)}
(q^n+1)
\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2i}-1)
Multiplicateur de Schur 
Cyclique d'ordre (4, qn + 1).
Groupe d'automorphisme extérieur 

(4, qn + 1) ·f·1 où q2 = pf.

Autres noms 
{}^2\!D_n(q), O_{2n}^{-}(q), P \Omega_{2n}^{-}(q), groupe de Chevalley tordu.
Remarques 
Ceci est le groupe obtenu à partir du groupe orthogonal non séparé en dimension 2n en prenant le noyau du déterminant (ou l'invariant de Dickson de caractéristique 2) et l'application de norme de spin puis en supprimant le centre.

{}^2\!D_2(q^2) existe aussi, mais est le même que A1(q). {}^2\!D_3(q^2) existe aussi, mais est le même que {}^2\!A_3(q^2).

Groupes de type de Lie exceptionnels

Groupes de Chevalley E6(q)

Simplicité 
Tous simples.
Ordre 

q36 (q12−1) (q9−1) (q8−1) (q6−1) (q5−1) (q²−1) /(3,q-1)

Multiplicateur de Schur 
(3,q − 1)
Groupe d'automorphisme extérieur 

(3, q − 1) ·f·2 où q = pf.

Autres noms 
Groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarques 
possède deux représentations de dimension 27, et agit sur l'algèbre de Lie de dimension 78.

Groupes de Chevalley E7(q)

Simplicité 
Tous simples.
Ordre 

q63 (q18−1) (q14−1) (q12−1) (q10−1) (q8−1) (q6−1) (q²−1) /(2,q-1)

Multiplicateur de Schur 
(2,q − 1)
Groupe d'automorphisme extérieur 

(2, q − 1) ·f·1 where q = pf.

Autres noms 
Groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarques 
possède une représentation de dimension 56, et agit sur l'algèbre de Lie correspondante de dimension 133.

Groupes de Chevalley E8(q)

Simplicité 
Tous simples.
Ordre 

q120 (q30−1) (q24−1) (q20−1) (q18−1) (q14−1) (q12−1) (q8−1) (q²−1)

Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 

f·1 où q = pf.

Autres noms 
Groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarques 
il agit sur l'algèbre de Lie correspondante de dimension 248. E8(3) contient le groupe simple de Thompson.

Groupes de Chevalley F4(q)

Simplicité 
Tous simples.
Ordre 

q24 (q12−1) (q8−1) (q6−1) (q²−1)

Multiplicateur de Schur 
Trivial excepté pour F4(2) (ordre 2).
Groupe d'automorphisme extérieur 

f·1 pour q impair, 1·f·2 pour q pair, où q = pf.

Autres noms 
Groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarques 
Ces groupes agissent sur les algèbres de Jordan exceptionnelles à 27 dimensions, qui leur donnent des représentations à 26 dimensions. Ils agissent aussi sur les algèbres de Lie correspondantes de dimension 52. F4(q) possède un automorphisme de graphe non-trivial lorsque q est une puissance de 2.

Groupes de Chevalley G2(q)

Simplicité 
G2(2) est non simple mais possède un sous-groupe simple d'index 2; les autres sont simples.
Ordre 

q6 (q6−1) (q²−1)

Multiplicateur de Schur 
Trivial pour les groupes simples excepté pour G2(3) (ordre 3) et G2(4) (order 2).
Groupe d'automorphisme extérieur 

f·1 pour q non puissance de 3, 1·f·2 pour q puissance de 3, où q = pf.

Autres noms 
Groupe de Chevalley exceptionnel.
Isomorphismes 
Le groupe dérivé G2(2)' est isomorphe à {}^2\!A_2(3^2).
Remarques 
Ces groupes sont des groupes d'automorphismes des algèbres de Cayley de dimension 8 sur des corps finis, qui leur donnes des représentations de dimension 7. Ils agissent aussi sur les algèbres de Lie correspondantes de dimension 14. G2(q) possède un automorphisme de graphe lorsque q est une puissance de 3.

Groupes de Steinberg ²E6(q²)

Simplicité 
Tous simples.
Ordre 

q36 (q12−1) (q9+1) (q8−1) (q6−1) (q5+1) (q²−1) /(3,q+1)

Multiplicateur de Schur 
(3, q + 1) excepté pour {}^2\!E_6(2^2) (ordre 12, produit de groupes cyclique d'ordres 2,2,3).
Groupe d'automorphisme extérieur 

(3, q + 1) ·f·1 où q² = pf.

Autres noms 
{}^2\!E_6(q), Groupe de Chevalley tordu.
Remarques 
Une des doubles couvertures exceptionnelle de {}^2\!E_6(2^2) est un sous-groupe du groupe Bébé Monstre,

et l'extension centrale exceptionnelle par le groupe abélien élémentaire d'ordre 4 est un sous-groupe du groupe Monstre.

Groupes de Steinberg ³D4(q³)

Simplicité 
Tous simples.
Ordre 

q12 (q8+q4+1) (q6−1) (q²−1)

Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 

f·1 où q³ = pf.

Autres noms 
{}^3\!D_4(q), Groupes de Chevalley tordus.
Remarques 
{}^3\!D_4(2^3) agit sur l'unique réseau pair à 26 dimensions de déterminant 3 sans racine.

Groupes de Suzuki ²B2(22n+1) les

Simplicité 
Simple pour n>1. Le groupe

{}^2\!B_2(2) est résoluble.

Ordre 

q² (q²+1) (q−1) où q = 22n+1.

Multiplicateur de Schur 
Trivial pour n>2, abélien élémentaire d'ordre 4 pour {}^2\!B_2(8).
Groupe d'automorphisme extérieur 

f·1 où f = 2n+1.

Autres noms 
Suz(22n + 1), Sz(22n + 1).
Isomorphismes 
{}^2\!B_2(2) est le groupe de Frobenius d'ordre 20.
Remarques 
Les groupes de Suzuki sont des groupes de Zassenhaus agissant sur les ensembles de taille (22n+1)²+1, et ont des représentations de dimension 4 sur le corps avec 22n + 1 éléments. Ce sont les seuls groupes simples non cycliques dont l'ordre n'est pas divisible par 3. Ils ne sont pas reliés au groupe de Suzuki sporadique.

Groupes de Ree ²F4(22n+1) et groupe de Tits

Simplicité 
Simple pour n>1. Le groupe dérivé {}^2\!F_4(2)' est simple d'index 2

dans {}^2\!F_4(2), il est appelé le groupe de Tits, en l'honneur du mathématicien français Jacques Tits.

Ordre 

q12 (q6+1) (q4−1) (q³+1) (q−1) où q = 22n+1.

Le groupe de Tits est d'ordre 17971200 = 211 · 3³ · 5² · 13.

Multiplicateur de Schur 
Trivial pour n>1 et pour le groupe de Tits.
Groupe d'automorphisme extérieur 

f·1 où f = 2n+1. Ordre 2 pour le groupe de Tits.

Remarques 
Le groupe de Tits n'est pas à strictement parler un groupe de type Lie, et en particulier, n'est pas le groupe de point d'un groupe algébrique simple connecté avec des valeurs dans un certain corps, n'a pas non plus une paire BN. Néanmoins, la plupart des auteurs le comptent comme une sorte de groupe de type Lie honoraire.

Groupes de Ree ²G2(32n+1)

Simplicité 
Simple pour n>1. Le groupe {}^2\!G_2(3) est non simple, mais son groupe dérivé {}^2\!G_2(3)' est un sous-groupe simple d'index 3.
Ordre 

q³ (q³+1) (q−1) où q = 32n+1

Multiplicateur de Schur 
Trivial pour n>1.
Groupe d'automorphisme extérieur 

f·1 où f = 2n+1.

Autres noms 
Ree(32n + 1), R(32n + 1).
Isomorphismes 
Le groupe dérivé {}^2\!G_2(3)' est isomorphe à A1(8).
Remarques 
{}^2\!G_2(3^{2n+1}) possède une représentation de permutation doublement transitive sur 33(2n + 1) + 1 points et agit sur un espace vectoriel à 7 dimensions sur le corps avec 32n + 1 éléments.

Groupes sporadiques

Article principal : Groupe sporadique.

Groupes de Mathieu

Article principal : Groupe de Mathieu.

Groupe de Mathieu M11

Ordre 
24 · 3² · 5 · 11=7 920
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Remarques 
Un groupe de permutation 4-transitif sur 11 points, et le point stabilisateur dans M12. Le sous-groupe fixant un point est quelquefois appelé M10, et possède un sous-groupe d'index 2 isomorphe au groupe alterné A6.

Groupe de Mathieu M12

Ordre 
26 · 3³ · 5 · 11 = 95 040
Multiplicateur de Schur 
Ordre 2.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Ordre 2.
Remarques 
Un groupe de permutation 5-transitif sur 12 points.

Groupe de Mathieu M22

Ordre 
27 · 3² · 5 · 7 · 11 = 443 520
Multiplicateur de Schur 
Cyclique d'ordre 12. Il y a eu plusieurs erreurs dans les calculs initiaux du multiplicateur de Schur, ainsi certains livres et articles anciens listent des valeurs incorrectes.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Ordre 2.
Remarques 
Un groupe de permutation 3-transitif sur 22 points.

Groupe de Mathieu M23

Ordre 
27 · 3² · 5 · 7 · 11 · 23 = 10 200 960
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Remarques 
Un groupe de permutation 4-transitif sur 23 points, contenu dans M24.

Groupe de Mathieu M24

Ordre 
210 · 3³ · 5 · 7 · 11 · 23 = 244823040
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Remarques 
Un groupe de permutation 5-transitif sur 24 points.

Groupes du réseau de Leech

Article principal : Réseau de Leech.

Groupe de Janko J2

Article principal : Groupe de Janko.
Ordre 
27 · 3³ · 5² · 7 = 604 800
Multiplicateur de Schur 
Ordre 2.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Ordre 2.
Autres noms 
Groupe de Hall-Janko, HJ
Remarques 

C'est le groupe d'automorphisme d'un graphe de rang 3 sur 100 points, et est aussi contenu dans G2(4).

Groupe de Conway Co1

Article principal : Groupes de Conway.
Ordre 
221 · 39 · 54 · 7² · 11 · 13 · 23 = 4 157 776 806 543 360 000
Multiplicateur de Schur 
Ordre 2.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Autres noms 
·1
Remarques 
La double couverture parfaite de Co1 est le groupe d'automorphisme du réseau de Leech, et est quelquefois noté par ·0.

Groupe de Conway Co2

Article principal : Groupes de Conway.
Ordre 
218 · 36 · 5³ · 7 · 11 · 23 = 42 305 421 312 000
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Autres noms 
·2
Remarques 
Sous-groupe de Co1 qui fixe un vecteur de la norme 4 dans le réseau de Leech.

Groupe de Conway Co3

Article principal : Groupes de Conway.
Ordre 
210 · 37 · 5³ · 7 · 11 · 23 = 495 766 656 000
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Autres noms 
·3
Remarques 
Sous-groupe de Co1 qui fixe un vecteur de la norme 6 dans le réseau de Leech.

Groupe de Higman-Sims HS

Article principal : Groupe de Higman-Sims.
Ordre 
29 · 3² · 5³· 7 · 11 = 44 352 000
Multiplicateur de Schur 
Ordre 2.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Ordre 2.
Remarques 
Il agit comme un groupe de permutation de rang 3 sur le graphe de Higman Sims avec 100 points et est contenu dans le Co3.

Groupe de McLaughlin McL

Article principal : Groupe de McLaughlin.
Ordre 
27 · 36 · 5³· 7 · 11 = 898 128 000
Multiplicateur de Schur 
Ordre 3.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Ordre 2.
Remarques 
Il agit comme un groupe de permutation de rang 3 sur le graphe de McLauglin avec 275 points et est contenue dans Co3.

Groupe de Suzuki sporadique Suz

Article principal : Groupe de Suzuki.
Ordre 
213 · 37 · 5²· 7 · 11 · 13 = 448 345 497 600
Multiplicateur de Schur 
Ordre 6.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Ordre 2.
Autres noms 
Sz
Remarques 
Le revêtement à 6 variétés agit sur un réseau à 12 dimensions sur les entiers d'Eisenstein. Il n'est pas relié aux groupes de Suzuki de type de Lie.

Sous-groupes du Monstre

Groupe de Fischer Fi22

Article principal : Groupe de Fischer.
Ordre 
217 · 39 · 5² · 7 · 11 · 13 = 64 561 751 654 400
Multiplicateur de Schur 
Ordre 6.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Ordre 2.
Autres noms 
M(22)
Remarques 
Un groupe 3-transposition dont la double couverture est contenue dans Fi23.

Groupe de Fischer Fi23

Article principal : Groupe de Fischer.
Ordre 
218 · 313 · 5² · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 = 4 089 470 473 293 004 800
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Autres noms 
M(23)
Remarques 
Un groupe 3-transposition contenue dans Fi24.

Groupe de Fischer Fi24

Article principal : Groupe de Fischer.
Ordre 
221 · 316 · 5² · 7³ · 11 · 13 · 17 · 23 · 29 = 1 255 205 709 190 661 721 292 800
Multiplicateur de Schur 
Ordre 3.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Ordre 2.
Autres noms 
M(24)', Fi24'.
Remarques 
La triple couverture est contenue dans le groupe Monstre.

Groupe de Held He

Article principal : Groupe de Held.
Ordre 
210 · 3³ · 5²· 7³· 17 = 4 030 387 200
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Ordre 2.
Autres noms 
Groupe de Held-Higman-McKay, HHM, F7.
Remarques 
Il centralise un élément d'ordre 7 dans le groupe Monstre.

Groupe de Harada-Norton HN

Article principal : Groupe de Harada-Norton.
Ordre 
214 · 36 · 56 · 7 · 11 · 19 = 273 030 912 000 000
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Ordre 2.
Autres noms 
F5, D
Remarques 
Il centralise un élément d'ordre 5 dans le groupe Monstre.

Groupe de Thompson fini Th

Article principal : Groupe de Thompson.
Ordre 
215 · 310 · 5³ · 7² · 13 · 19 · 31 = 90745943887872000
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Autres noms 
F3, E
Remarques 
Il centralise un élément d'ordre 3 dans le Monstre et est contenu dans E8(3).

Groupe Bébé Monstre B

Article détaillé : Groupe Bébé Monstre.
Ordre 
241 · 313 · 56 · 7² · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 = 4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
Multiplicateur de Schur 
Ordre 2.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Autres noms 
F2
Remarques 
Le double revêtement du groupe Bébé Monstre est contenu dans le groupe Monstre.

Groupe Monstre M

Notations 
M, F1, M1
Autres noms 
Groupe de Fischer-Griess, monstre de Fischer, Géant amical.
Ordre 
246 · 320 · 59 · 76 · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 = 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Remarques 
Le groupe Monstre est le groupe d'automorphisme de l'algèbre de Griess à 196884 dimensions et de l'algèbre vertex monstre, il agit naturellement sur l'algèbre de Lie Monstre. Il contient quasiment tous les autres groupes sporadiques, à part 6 groupes sporadiques que l'on nomme parias. Il est relié à la conjecture Monstrous Moonshine.

Parias

Groupe de Janko J1

Article principal : Groupe de Janko.
Ordre 
2³ · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 = 175 560
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Autres noms 
J(1), J(11)
Remarques 
C'est un sous-groupe de G2(11), et donc possède une représentation à 7 dimensions sur le corps à 11 éléments.

Groupe de Janko J3

Article principal : Groupe de Janko.
Ordre 
27 · 35 · 5 · 17 · 19 = 50 232 960
Multiplicateur de Schur 
Ordre 3.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Ordre 2.
Autres noms 
Groupe de Higman-Janko-McKay, HJM
Remarques 
J3 semble ne pas être relié à un quelconque groupe sporadique (ou à quoi que ce soit d'autre). Sa triple couverture possède une représentation à 9 dimensions sur le corps à 4 éléments.

Groupe de Janko J4

Article principal : Groupe de Janko.
Ordre 
221 · 3³ · 5 · 7 · 11³ · 23 · 29 · 31 · 37 · 43 = 86 775 571 046 077 562 880
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Remarques 
possède une représentation à 112 dimensions sur le corps à 2 éléments.

Groupe de O'Nan O'N

Article principal : Groupe de O'Nan.
Notation 
O'N, O'NS
Autres noms 
Groupe de O'Nan-Sims
Ordre 
29 · 34 · 5 · 7³ · 11 · 19 · 31 = 460 815 505 920
Multiplicateur de Schur 
Ordre 3.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Ordre 2.
Remarques 
Le triple revêtement possède deux représentations à 45 dimensions sur le corps à 7 éléments, échangé par un automorphisme extérieur.

Groupe de Rudvalis Ru

Article principal : Groupe de Rudvalis.
Ordre 
214 · 3³ · 5³· 7 · 13 · 29 = 145 926 144 000
Multiplicateur de Schur 
Ordre 2.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Remarques 
Le double revêtement agit sur un réseau à 28 dimensions sur les entiers de Gauss.

Groupe de Lyons Ly

Article principal : Groupe de Lyons.
Notations 
Ly, LyS.
Autres noms 
Groupe de Lyons-Sims.
Ordre 
28 · 37 · 56 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67 = 51 765 179 004 000 000
Multiplicateur de Schur 
Trivial.
Groupe d'automorphisme extérieur 
Trivial.
Remarques 
Possède une représentation à 111 dimensions sur Z/5Z, le corps des congruences modulo 5.

Liste par ordre croissant

La liste suivant recense les groupes simples finis non-cycliques d'ordre inférieur à 10 000. Les groupes cycliques ne sont pas inclus dans cette liste dans la mesure où tout groupe cyclique d'ordre p est simple dès que p est premier, ce qui est le cas pour 1 229 nombres inférieurs à 10 000.

Groupe Ordre (valeur) Ordre (factorisation)
A5 = A1(4) = A1(5) 60 2² · 3 · 5
A1(7) = A2(2) 168 2³ · 3 · 7
A6 = A1(9) = B2(2)′ 360 2³ · 3² · 5
A1(8) = ²G2(3)′ 504 2³ · 3² · 7
A1(11) 660 2² · 3 · 5 · 11
A1(13) 1 092 2² · 3 · 7 · 13
A1(17) 2 448 24 · 3² · 17
A7 2 520 2³ · 3² · 5 · 7
A1(19) 3 420 2² · 3² · 5 · 19
A1(16) 4 080 24 · 3 · 5 · 17
A2(3) 5 616 24 · 33 · 13
²A2(9) 6 048 25 · 33 · 7
A1(23) 6 072 23 · 3 · 11 · 23
A1(25) 7 800 23 · 3 · 5² · 13
M11 7 920 24 · 3² · 5 · 11
A1(27) 9 828 2² · 33 · 7 · 13

Voir aussi

Liens internes

Liens externes

Bibliographie

  • Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups (volume 1), AMS, 1994 (volume 2), AMS,
  • Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: "Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups." Oxford, England 1985.
  • Simple Groups of Lie Type by Roger W. Carter, ISBN 0-471-50683-4
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