Groupe de McLaughlin

Groupes de Conway

En mathématiques, les groupes de Conway Co₁, Co₂ et Co₃ sont trois groupes sporadiques découverts par John Horton Conway en 1968^[1].

Tous sont intimement liés au réseau de Leech $\Lambda\,$. Le plus grand, $Co_1\,$, d'ordre

4 157 776 806 543 360 000,

est obtenu en divisant le groupe des automorphismes de Λ par son centre, qui est constitué des matrices scalaires $\pm 1\,$. Les groupes $Co_2\,$ (d'ordre 42 305 421 312 000) et $Co_3\,$ (d'ordre 495 766 656 000) constitué des automorphismes de $\Lambda\,$ fixant un vecteur de réseau de type 2 et un vecteur de type 3 respectivement. (Le type d'un vecteur est égal à 1/16 de sa norme, vˑv). Comme le scalaire - 1 ne fixe aucun vecteur différent de zéro, nous pouvons regarder ces deux groupes comme des sous-groupes de $Co_1\,$.

Autres groupes sporadiques

Les groupes $Co_2\,$ et $Co_3\,$ sont contenus tous deux dans le groupe de McLaughlin $McL\,$ (d'ordre 898 128 000) et le groupe de Higman-Sims (d'ordre 44 352 000), qui peut être décrit comme le stabilisateur d'un triangle de type

2-2-3

et

2-3-3, respectivement.

En identifiant $\mathbb{R}^{24}\,$ avec $\mathbb{C}^{12}\,$ et

$\Lambda\,$ avec $\mathbb{Z}[e^{\frac{2i \pi}{3}}]^{12}\,$,

le groupe d'automorphisme résultant, i.e., le groupe des automorphismes du réseau de Leech conservant la structure complexe, lorsqu'il est divisé par le groupe à 6 éléments des matrices scalaires complexes, cela donne le groupe de Suzuki $Suz\,$ (d'ordre 448 345 497 600). $Suz\,$ est le seul sous-groupe sporadique propre de $Co_1\,$ qui maintient 13 comme un facteur premier.

Une construction similaire donne le groupe de Hall-Janko $J_2\,$ (d'ordre 604 800) comme le quotient du groupe des automorphismes quaternioniques de $\Lambda\,$ par le groupe $\pm 1\,$ de scalaires.

Les 7 groupes simples décrits ci-dessus comprennent ce que Robert Griess appelle la deuxième génération de la famille heureuse, ces derniers étant les groupes sporadiques simples trouvés dans le groupe Monstre. Plusieurs de ces 7 groupes contiennent au moins certains des 5 groupes de Mathieu, qui forment la première génération.

References

• Conway, J. H.: A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 61 (1968), 398-400.
• Thompson, Thomas M.: "From Error Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups", Carus Mathematical Monographs, Mathematical Association of America, 1983.
• Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; Wilson, R. A., Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press, 1985, ISBN 0-19-853199-0
• Griess, Robert L.: "Twelve Sporadic Groups", Springer-Verlag, 1998.

Annexes

Articles connexes

• Groupe fini
• Groupe sporadique
• Liste des groupes finis simples

Liens externes

• (en) Conway Groups sur Mathworld

Bibliographie

• John Horton Conway : A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, numéro 61 (octobre 1968), pages 398 à 400.
• John Horton Conway (sous la direction de ) : Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups Oxford University Press (1985) - ISBN 0198531990

Référence

1. ↑ John Horton Conway : A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, numéro 61 (octobre 1968), pages 398 à 400.

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