Groupe Alterné


Groupe Alterné

Groupe alterné

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le groupe alterné de degré n, souvent noté An, est un sous-groupe distingué du groupe symétrique des permutations d'un ensemble fini de cardinal n. Ce sous-groupe est composé des éléments produits d'un nombre pair de transpositions. Une transposition est une permutation φ réduite à l'identité sauf sur exactement 2 éléments a et b. Cette propriété implique que φ(a) = b et φ(b) = a.

Il existe un groupe alterné pour chaque groupe symétrique, donc pour chaque entier n supérieur ou égal à 2 et il se note habituellement An, parfois avec un « \mathfrak A » gothique qui le fait ressembler à un « U »). Le plus petit groupe alterné, A2, est trivial, A3 est cyclique d'ordre 3, le suivant est résoluble et, plus particulièrement, est produit semi-direct d'un groupe de Klein par un groupe cyclique d'ordre 3. À partir du groupe A5, les groupes alternés sont simples et deux à deux non isomorphes. La simplicité des groupes alternés, pour n supérieur ou égal à 5, possède comme conséquence le théorème d'Abel, stipulant qu'il ne peut exister d'expression générique par radicaux d'une équation algébrique de degré supérieur ou égal à 5.

Le groupe alterné est la structure source de certains casse-tête mathématique comme le jeu de taquin ou le cube de Rubik. Les mouvements possibles dans les deux jeux cités sont des éléments d'un groupe alterné. Cette propriété permet de montrer qu'il n'est pas possible de permuter deux cases du taquin sans modifier le reste du jeu.

Les groupes alternés de degré 4 et 5 se représentent comme le groupe des rotations laissant invariant un polyèdre régulier, le tétraèdre pour A4 et le dodécaèdre ou encore l'icosaèdre pour A5.

Sommaire

Construction du groupe

Définition

Un résultat, à la base de la définition de la signature, stipule que le nombre de transpositions nécessaire pour décomposer une permutation donnée est toujours de même parité. Ainsi, le cycle (abc), qui transforme a en b, b en c et c en a peut se décomposer en deux transpositions (ab), puis (bc) ou encore en (ac) puis (bc) mais jamais en un produit d'un nombre impair de transpositions.

Définition —  Une permutation est dite paire lorsqu'elle se décompose en un nombre pair de transpositions. Dans le cas inverse, la permutation est dite impaire.

Cette définition est à l'origine de celle d'un groupe alterné.

Définition —  Le groupe alterné de degré n, noté An, est le sous-groupe des permutations paires de degré n.[1]

Remarque : On trouve aussi l'expression groupe alterné d'indice n, à la place de groupe alterné de degré n[2]. Ce choix est un peu ambigu, l'indice de An dans Sn désigne, pour d'autres auteurs, l'ordre du groupe quotient Sn/An[3]. On trouve encore le terme d'ordre pour décrire le degré[4]. Cette convention est plus rarement utilisée, en effet le terme d'ordre est utilisé en théorie des groupes pour décrire le cardinal d'un groupe, ce choix introduit une confusion parfois regrettable.

Propriétés élémentaires

Article détaillé : groupe symétrique.

Dans toute la suite de l'article, n désigne un entier supérieur ou égal à 2. La définition précédente repose sur une propriété fondamentale partagée par toutes les permutations :

Propriété 1 —  La parité du nombre de transposition nécessaire pour décomposer une permutation donnée est indépendante de la décomposition choisie.

Cette propriété se démontre à l'aide du concept de signature d'une permutation, traitée dans le paragraphe suivant. Une fois établie, une deuxième propriété se démontre simplement :

Propriété 2 —  L'ensemble An des permutations paires de Sn forme un sous-groupe distingué.

En effet, An est non vide car il contient l'élément neutre, qui se décompose en zéro transposition, ou encore en deux fois la même transposition. Si φ1 et φ2 sont deux permutations paires alors leur produit est aussi une permutation paire. Pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que φ1 et φ2 correspondent à des produits de transpositions en nombres pairs. Ainsi il existe des transpositions σ1, ..., σ2p, τ1, ..., τ2q, tel que φ1 = σ1...σ2p et φ2 = τ1...τ2q. Le produit φ12 est égal à σ1...σ2p1...τ2q. Comme la somme de 2 nombres pairs est paire le produit est bien une permutation paire. Il reste à montrer que l'inverse de φ1 est bien une permutation paire, cet inverse est égal à σ2p...σ1, le produit des mêmes transpositions pris dans l'ordre inverse.

Dire que An est distingué revient à dire que si φ est élément du sous-groupe et si σ est une permutation quelconque de Sn, alors σ.φ.σ-1 est une permutation paire. En effet, σ est le produit d'un nombre pair de transpositions, et le paragraphe précédent montre que σ-1 se décompose en autant de transpositions que σ. La somme du nombre de toutes ces transpositions est nécessairement paire.

Propriété 3 —  L'ordre de An est la moitié de celui de Sn, c'est-à-dire n!/2.

En effet, considérons l'application f de Sn dans Sn qui, à une permutation φ, associe φσ. Ici σ désigne une transposition de Sn. Une telle application est, dans un groupe, appelé translation à droite. La fonction f, comme toute translation, est une bijection. L'image de An est incluse dans l'ensemble des permutations impaires. La bijection de f montre que l'ordre de An est plus petit que le cardinal de l'ensemble des permutations impaires. De même l'image par f d'une permutation impaire est paire, la bijection de f montre aussi que le cardinal de l'ensemble des permutations impaires est plus petit que celui des permutations paire, c'est-à-dire l'ordre de An. Il y a égalité entre l'ordre de An et le cardinal de l'ensemble des permutations impaires. Ces deux ensembles forment une partition de Sn de 2 sous-ensembles de même cardinal, ce qui termine la démonstration.

Propriété 4 —  Soit m, un entier plus petit que n. Un cycle de Sn et de longueur m est élément du groupe alterné si, et seulement si, m est impair.

Une petite récurrence vient à bout de la démonstration de cette propriété. Si n est égal à 2, comme une transposition est impaire, la propriété est vérifiée. Supposons la propriété vraie à l'ordre m - 1 et étudions la parité d'un cycle le longueur m, noté (a1...am-1am). On remarque que le cycle est produit de la transposition (am-1am) et du cycle (a1...am-1). L'hypothèse de récurrence montre que le cycle de longueur m une permutation paire si et seulement si m - 1 est paire, ce qui termine la démonstration.

Signature

Article détaillé : signature d'une permutation.

La signature d'une permutation est la parité du nombre d'inversions contenues dans une permutation. On démontre que cette application est un morphisme de groupe de Sn dans {-1, 1} et que la signature d'une transposition est toujours égale à -1. On en déduit que le nombre de transpositions nécessaire pour décomposer une permutation ne peut à la fois être paire et impaire, sinon la signature ne serait pas un morphisme de groupe. En effet, si φ est une permutation qui se décompose en p ou bien q transpositions, la signature de φ, d'après la propriété de morphisme est à la fois égale à (-1)p et (-1)q, ce qui montre que p et q sont de même parité. On en déduit une nouvelle définition du groupe alterné, équivalente à la précédente :

Définition alternative —  Le groupe alterné An est le noyau du morphisme signature du groupe symétrique Sn.[5]

Cette approche offre des démonstrations alternatives aux propositions du paragraphe précédent numérotées de 2 et 3. Le noyau d'un morphisme est toujours un sous-groupe distingué, ce qui montre que An est un sous-groupe distingué. L'ordre du noyau que multiple l'ordre de l'image d'un morphisme de groupe est égal à l'ordre du groupe de départ, ce qui permet de déterminer l'ordre du groupe alterné.

Exemples

Le groupe alterné de degré 2 ne contient que l'élément neutre.

Le groupe symétrique de degré 3 est d'ordre 6 et contient : l'identité, trois transpositions et deux cycles d'ordre 3. Le groupe alterné de degré 3 ne comporte que l'identité et les cycles d'ordre 3 :

\mathfrak A_3 = \{\text{I},\,(123),\,(132)\}

Comme tout groupe contenant 3 éléments, il est isomorphe au groupe cyclique d'ordre 3.

Le groupe symétrique de degré 4 est d'ordre 24, le groupe alterné associé est d'ordre 12. Il contient les cycles d'ordre 3 et les produits de 2 cycles d'ordre 2 de supports disjoints :

\mathfrak A_4 = \{\text{I},\,(234),\,(243),\,(134),\,(143),\,(124),\,(142),\,(123),\,(132),\,(12)(34),\,(13)(42),\,(14)(23)\}

Le groupe symétrique de degré 4 n'est pas abélien. Pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que les transpositions (12) et (23) ne commutent pas. Le produit des deux dans les deux ordres donnent les deux cycles de support 1, 2 et 3. Aucun groupe alterné de degré supérieur à 4 n'est abélien, en effet ces groupes contiennent tous une copie de A4, qui ne l'est pas. Ce groupe est néanmoins résoluble, il contient un sous-groupe distingué abélien, composé des produits de deux transpositions à support disjoints et de l'élément neutre. Ce groupe est abélien car isomorphe au groupe de Klein et le quotient de A4 par le groupe distingué est aussi abélien car d'ordre 3 et donc cyclique.

Le groupe symétrique de degré 5 est d'ordre 60. Il est étudié plus avant à la suite de cet article.

Jeu de taquin

Article détaillé : Taquin.
Jeu de taquin résolu
Jeu de taquin non résoluble

Le jeu de taquin, est un jeu solitaire qui se présente sous la forme d'un damier composé de 15 cases et d'une 16ième manquante. Sa théorisation mathématique date de 1879 et se fonde sur les propriétés du groupe alterné[6]. Une des questions posée par Sam Loyd est celle de la résolution du jeu de taquin illustré à droite. Elle correspond à la résolution d'un état du jeu où toutes les cases sont à la bonne position exceptées celles numérotées 14 et 15, qui sont interverties. Elle est impossible si l'on impose à la case vide d'être en bas à droite. Elle l'est si on admet que la case vide soit en haut à gauche et que la première ligne ne contienne que les cases 1, 2 et 3.

Si l'on considère un mouvement comme une permutation des cases numérotées de 1 à 15, alors le groupe des permutations de degré 15 opère sur le jeu de taquin. Pour être plus précis, le groupe qui opère est un sous-groupe engendré par les différentes permutations possibles. Il est relativement simple de vérifier que les permutations engendrant le sous-groupe sont toutes des cycles d'ordre 3 ou 5[7]. Ces permutations sont toutes dans le groupe alterné A15. Le groupe qui opère sur le jeu de taquin est un sous-groupe du groupe alterné A15, qui ne contient aucune transposition. C'est une manière simple de démontrer que la configuration de droite n'est pas résoluble.

D'autres solitaires, comme l'Âne rouge ou le Rubik's cube utilisent de manière analogue le groupe alterné.

Classes de conjugaison

Article détaillé : Classe de conjugaison.

Structure

La structure des classes de conjugaison est l'un des premiers éléments à étudier dans le cadre d'une analyse d'un groupe non abélien. Elles sont utilisées dans la suite de l'article pour établir que si n est strictement supérieur à 4, le groupe est simple, ou encore que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à A5.

Dans un groupe symétrique, les classes de conjugaison sont composées de produits de cycles à supports disjoints de même structure, c'est-à-dire de même nombre et de même longueur. En conséquence, les classes de conjugaison du groupe alterné sont aussi composées de produits de cycles à supports disjoints de même structure, plus précisément :

  • Une classe de conjugaison est constitué d'éléments ayant la même structure. Si la structure est composée uniquement de cycles de longueurs impaires, où les cycles de longueur 1 sont comptés, sans cycle de même longueur, alors il existe exactement deux classes de conjugaison. Il n'en existe qu'une sinon.[8]

Une classe de conjugaison, ou deux dans les cas de A3 et A4, joue un rôle particulier, celle constituée des cycles d'ordre 3 :

  • Les cycles d'ordre 3 engendrent le groupe alterné.

Exemples

La seule classe de conjugaison de S4 qui se trouve divisé en deux dans A4 est celle des cycles d'ordre 3. Un tel élément est en effet composé de deux cycles de longueurs impaires et différentes : 1 et 3. Les cycles d'ordre 1 sont en effet comptés. La classe de l'élément neutre ne contient qu'un élément et n'est jamais divisé. Celle composée de deux transpositions à supports disjoints n'est pas divisé en deux, elle contient des cycles de longueurs paires et contient aussi deux cycles de même longueur. On obtient 4 classes de conjugaison : l'identité, les produits de 2 cycles disjoints d'ordre 2 et deux classes de cycles d'ordre 3 :

C_I = \{I\}\quad C_{2,2} = \{(12)(34),\,(13)(24),\,(14)(23)\}\;

et

C_{3a} = \{(123)\;(124)\;(134)\;(234)\} \quad C_{3b} = \{(132)\;(142)\;(143)\;(243)\}

Dans le cas de A5, il est plus long d'écrire toutes les classes en extension, on trouve en effet 60 éléments. Il existe 5 classes de conjugaison. Une contient l'identité, une autre 15 permutations formées de deux transpositions à supports disjoints. Cette classe n'est pas divisée car elle contient un cycle de longueur paire. Les 20 cycles d'ordre 3 ne forment plus qu'une classe de conjugaison. Ils sont maintenant complétés par deux cycles de même longueur, ceux d'ordre 1. Enfin, les cycles d'ordre 5 sont divisés en 2 classes de conjugaisons contenant 12 permutations chacune.[9]

Groupe simple

Article détaillé : Groupe simple.

Simplicité et groupe alterné

Une propriété éventuelle et importante d'un groupe est d'être simple, ce qui signifie qu'il ne contient pas de sous-groupe distingué propre.

  • Si n est un entier supérieur ou égal à 5, le groupe alterné de degré n est simple.[10]

Les groupes alternés forment une deuxième série infinie de groupes simples, après ceux, abéliens et d'ordre un nombre premier. Cette série contient le plus petit groupe simple non commutatif :

  • Le groupe alterné de degré 5 est le plus petit groupe simple non abélien et tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à A5[11].

La structure de groupe alterné intervient par exemple dans la résolution d'une équation algébrique par radicaux, à travers la proposition suivante :

  • Si n est un entier supérieur ou égal à 5, le seul sous-groupe distingué et propre de Sn est An.[12]

Exemple

Article détaillé : Théorème d'Abel (Algèbre).
Nappe qui à z, associe le module de P(z)

Si le groupe de Galois d'un polynôme irréductible sur un corps parfait comme Q, celui des nombres rationnels, n'est pas résoluble, alors les racines du polynômes ne s'expriment pas à l'aide de radicaux. Tel est le contenu de la version formulée par Evariste Galois et en langage moderne, du théorème d'Abel. Les exemples les plus simples s'obtiennent à l'aide d'équation du cinquième degré dont le groupe de Galois est le groupe symétrique S5. Un tel groupe ne contient qu'un unique sous-groupe distingué propre, son groupe alterné. Il n'est donc pas résoluble.

Le polynôme à coefficients dans Q : P(X) = X5 - 3X - 1 est un exemple de polynôme de cette nature, ce qui se démontre relativement simplement. Ce polynôme est illustré sur la figure de droite, plus précisément cette figure illustre la nappe qui à un nombre complexe z associe le module de P(z) pour les points de coordonnée imaginaire positive. On remarque que l'équation associée possède 5 racines dont trois réelles, de valeurs approximatives -1,21 -0,33 et 1,39 et deux imaginaires 0,08 + 1,33.i et son conjugué 0,08 - 1,33.i. Le fait qu'il n'existe qu'une unique racine dans le disque unité, illustré en vert sur la figure, montre que le polynôme est irréductible dans Q et que le groupe contient un élément d'ordre 5. L'existence d'un unique couple de racines imaginaires conjuguées montre l'existence d'une transposition dans le groupe. Ces deux propriétés établissent que le groupe de Galois est isomorphe à S5, qui n'est pas résoluble d'après les résultats précédents.[14]

Remarque 1 : Il est impropre de dire que l'équation P(z) = 0 n'est pas résoluble. Cette équation possède 5 racines qui s'approximent aussi précisément qu'on le souhaite et qui s'expriment exactement à l'aide d'intégrales elliptiques. En revanche, ces racines ne peuvent s'exprimer à l'aide des quatre opérations et de radicaux, ce qui démontre qu'il n'est pas possible de trouver une expression des racines dans le cas général d'une équation du cinquième degré, comme on peut le faire pour les équations de degré 1, 2, 3 ou 4.
Remarque 2 : Les groupes simples non abéliens qui interviennent dans les groupes de Galois ne sont pas nécessairement des groupes alternés. Il existe ainsi un polynôme de degré 7 ayant pour groupe de Galois un groupe simple d'ordre 168. En revanche, si un polynôme de degré 5 n'est pas résoluble, cela signifie nécessairement que le groupe de Galois contient comme sous-groupe distingué le groupe alterné de degré 5.

Représentation

Caractère

Une manière d'étudier un groupe G est de le représenter à l'aide d'un sous-groupe d'un groupe linéaire. Le cas le plus simple est celui où le corps de l'espace vectoriel est celui des nombres complexes. Certaines représentations sont particulièrement digne d'intérêt, on les appelle les représentations irréductibles, elles ne possèdent pas de sous-espaces stables par la représentation autre que l'espace entier et celui réduit au vecteur nul.

Le caractère d'une représentation est l'application qui à un élément du groupe associe la trace de son endomorphisme. Si la représentation φ est irréductible, son caractère χφ est de norme 1, pour la norme définie par le produit hermitien suivant, où g est le cardinal du groupe G :

\langle \chi_{\varphi},\chi_{\varphi}\rangle = \frac 1g \sum_{g\in G} \chi_{\varphi}(g)\cdot\overline{\chi_{\varphi}(g)}

Les caractères de deux représentations irréductibles non isomorphes sont orthogonaux et si χi désignent les différents caractères des représentations irréductibles et e l'élément neutre du groupe G, alors :

(1)\quad g = \sum_i \chi_i(e)^2\;

Groupe alterné de degré 4

Un premier caractère irréductible est donné par la représentation triviale t dans un espace de dimension 1. À chaque élément de A4 cette représentation associe l'automorphisme identité, le caractère χt de cette représentation associe 1 à chaque élément du groupe A4.

On obtient une deuxième représentation φ par restriction de la représentation φ1 de S4 aux éléments de A4, en utilisant les notations de l'article Représentations du groupe symétrique d'indice quatre. Comme la valeur d'un caractère ne dépend pas du choix d'un élément pris dans une même classe de conjugaison, le caractère est défini par χφ(e) = 3, χφ(ab)(cd) = -1 et χφ(abc) = 0. Un calcul montre que la norme de cette représentation est égale à 1, elle est donc irréductible.

Il existe un morphisme de A4 dans le groupe cyclique d'ordre 3. Il existe deux représentations irréductibles du groupe cyclique d'ordre 3 qui sont toutes deux de dimension 1. La première associe j, la racine cubique de l'unité de partie imaginaire strictement positive, à un élément d'ordre 3 et la deuxième associe son conjugué à la même valeur.

L'égalité (1) montre qu'il n'existe pas d'autre représentation irréductible, à un isomorphisme près. En effet, 32 + 12 + 12 + 12 est égal à 12, l'ordre du groupe alterné de degré 4. On en déduit la table des caractères[15] :

Car. irr. 1 (ab)(cd) (abc) (acb)
t 1 1 1 1
σ1 1 1 j j2
σ2 1 1 j2 j
φ 3 -1 0 0

Il existe une représentation de dimension 3. Elle est utilisée dans le paragraphe "Groupe des rotations du tétraèdre".

Groupe alterné de degré 5

Les caractères du groupe alterné de degré 5 sont un peu plus délicats à déterminer que le cas précédent, même s'il est possible d'y parvenir sans utiliser une approche générique plus lourde. L'existence de 5 classes de conjugaison montre qu'il existe 5 représentations irréductibles. La table des caractères est la suivante :[16]

Car. irr. 1 (ab)(cd) (abc) (abcde) (abced)
t 1 1 1 1 1
σ1 3 -1 0 1/2.(1 + √5) 1/2.(1 - √5)
σ2 3 -1 0 1/2.(1 - √5) 1/2.(1 + √5)
φ 4 0 1 -1 -1
ψ 5 1 -1 0 0

Les caractères de ces représentations sont tous réelles. Chacune de ces représentations s'incarne sur un espace vectoriel réel (cf Caractère d'une représentation d'un groupe fini). Cette remarque s'applique, en particulier, sur les représentations de dimension 3. Le paragraphe "Groupe des rotations du dodécaèdre" montre qu'une telle représentations correspond à un groupe de symétrie d'un solide de Platon.

Groupe des rotations d'un polyèdre régulier

Représentation et géométrie

Les groupes A4 et A5 admettent des représentations de dimension 3 réelles. Ces représentations sont composées d'automorphismes qui peuvent être vus comme des isométries si l'espace vectoriel E de dimension 3 est équipé du bon produit scalaire. En effet, si G est le groupe des automorphismes, et (.|.) un produit scalaire quelconque de E, alors le produit scalaire <., .> suivant confère le statut d'isométrie aux éléments de G :

\forall x,y \in E\quad \langle x,y\rangle = \frac 1{|G|} \sum_{g\in G} (gx|gy)

Ici, |G| désigne l'ordre du groupe G. Un élément de G est une isométrie car la translation à droite est une bijection. Ainsi, si h est un élément de G, l'ensemble des éléments g.h, si g décrit G, est exactement le groupe G.

Ces isométries sont tous des rotations car leur déterminant est égal à 1. Pour n égal à 4, il suffit de remarquer que la représentation est obtenue par restriction d'une représentation de S4, chacune des isométries est produit d'un nombre paire d'images de transpositions de déterminant égal à -1. Pour n égal à 5, la preuve est donné dans la construction de la table.

Les représentations de degré 3, pour n égal à 4 ou 5, sont fidèles, c'est-à-dire qu'elles sont injectives. Il suffit pour s'en persuader de remarquer que ces représentations possèdent des caractères qui prennent la valeur 3, que pour l'identité, l'image de l'élément neutre. Ces différentes propriétés permettent de concevoir ces représentations de dimension 3 comme des groupes de rotations d'un polyèdre régulier.

Groupe des rotations du tétraèdre

Le groupe des rotations du tétraèdre est isomorphe à A4

Si n est égal à 4, la représentation est obtenue en restreignant une représentation irréductible de degré 3 du groupe symétrique, décrite dans l'article Représentations du groupe symétrique d'indice quatre. Le groupe G est engendré par les deux automorphismes ayant les matrices suivantes dans une base orthonormale :

M_{123} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1  & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad
              M_{234} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0  \\ 0  & 0 & 1 \\ 1 &  0 & 0 \end{pmatrix}

Soient φ234 l'automorphisme de matrice M234 et s un vecteur non nul de l'axe de la rotation φ234. On peut, par exemple choisir s comme le point de coordonnées (1, 1, 1). Soit S l'orbite de s, c'est-à-dire l'ensemble des points g(s), si g parcourt le groupe G. L'ensemble S est globalement stable par l'action de G. On définit le polyèdre comme l'enveloppe convexe de S, qui fournit les sommets du polyèdre recherché. Ce polyèdre est un tétraèdre régulier et son groupe des rotations est exactement égal à G.

Groupe des rotations du dodécaèdre

Le groupe des rotations du dodécaèdre régulier est isomorphe à A5.
Le groupe des rotations de l'icosaèdre régulier possède la même propriété.

Le groupe A5 possède aussi une représentation irréductible d'ensemble d'arrivé G et de dimension 3. Un raisonnement, analogue à celui du paragraphe précédent, montre que le groupe des rotations d'un dodécaèdre régulier est isomorphe à G. Ceci revient à dire que le groupe des rotations du dodécaèdre régulier est isomorphe au groupe alterné de degré 5.

Le groupe G, qui laisse globalement invariant le dodécaèdre D laisse aussi globalement invariant l'ensemble des centres des faces du dodécaèdre. Le polyèdre, ayant pour sommets les centres des différentes faces de D, est un icosaèdre régulier. Il existe ainsi deux polyèdres réguliers ayant un groupe de rotations isomorphe à A5. La technique consistant à construire un nouveau polyèdre à partir des centres des faces est appelé polyèdre dual. Si un groupe d'isométries laisse invariant un polyèdre, le raisonnement utilisé ici montre qu'il laisse toujours invariant son dual.

Il existe deux manières de procéder. la première suppose connue la structure du dodécaèdre régulier et l'objectif est de montrer que son groupe des rotations est isomorphe à A5. Une méthode simple de procéder est de remarquer qu'il existe 5 cubes de sommets choisis parmi les sommets du dodécaèdre régulier. Le groupe des rotations opère librement sur l'ensemble de ces 5 cubes. Il est donc isomorphe à un sous-groupe de S5. On remarque ensuite que le groupe des rotations contient 60 éléments. En effet, comme le dodécaèdre contient 20 sommets, il existe 20 manières différentes de positionner un sommet. Une fois le sommet positionné, il reste encore trois manière de positionner une arête contenant ce sommet car chaque sommet est élément de trois arêtes. L'ordre du groupe des rotations est 20 que multiplie 3, c'est-à-dire 60. Un sous-groupe de 60 éléments dans S5 est nécessairement distingué car il peut être vu comme le noyau du morphisme qui associe 1 à un élément du sous-groupe et -1 aux autres éléments. Il n'existe qu'un unique sous-groupe distingué non trivial dans S5 c'est A5, ce qui montre l'isomorphisme recherché.[17]

Une autre manière de procéder est d'utiliser la représentation de dimension 3 du groupe alterné pour construire le dodécaèdre et en déterminer ses paramètres. Elle est proposée dans la boîte déroulante.

Notes et références

Notes

  1. C'est par exemple la définition donnée dans Groupe alterné par Bibmath
  2. C'est par exemple le choix de : N. Lanchier Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications. de l'Université de Rouen
  3. C'est le choix par exemple de M. Hindry Liste des groupes simples finis de L'Université de Jussieu Paris VII
  4. Groupe des permutations d'un ensemble fini IUFM de la Réunion
  5. Cette définition est utilisée dans : A. et R. Douady Algèbre et théories galoisiennes Cassini 2005 (ISBN 2842250052) p 318
  6. cité par Edouard Lucas, dans Récréations mathématiques (1891), réédition Librairie Blanchard (1992) p 190 (ISBN 2853671232)
  7. La démonstration proposée ici provient de M. Coste Jeu de taquin et générateurs du groupe alterné Université de Rennes 1 (2008)
  8. W. R. Scott Group Theory Dover Publications (1987) p 299 (ISBN 0486653773)
  9. Une démonstration est proposé par : R. Bédard Caractère du groupe alterné Université du Québec à Montréal 2007 p76
  10. La démonstration proposée provient de : A. et R. Douady Algèbre et théories galoisiennes Cassini 2005 p 319 (ISBN 2842250052)
  11. On trouve une démonstration dans : M. Hindry Cours d'algèbre au magistère de Cachan Université Paris VII p 22. Voir aussi J.S. Rose, A Course on Group Theory, Cambridge 1978, réimpr. Dover, 1994, théor. 5.30, p. 106. Soit G un groupe simple d'ordre 60. L'essentiel de la démonstration consiste à montrer, en considérant l'opération de G sur ses 2-sous-groupes de Sylow, que G est isomorphe à un sous-groupe de S_{5}.
  12. La démonstration proposée provient de : A. et R. Douady Algèbre et théories galoisiennes Cassini 2005 p 320 (ISBN 2842250052)
  13. M. Hindry Cours d'algèbre au magistère de Cachan Université Paris VII p 22
  14. Cet exemple provient de : A. et R. Douady Algèbre et théories galoisiennes Cassini 2005 p 322 (ISBN 2842250052)
  15. On peut vérifier par exemple sur : R. Bédard Représentations des groupes Université du Québec à Montréal p 29
  16. Une démonstration est proposé par : R. Bédard Caractère du groupe alterné Université du Québec à Montréal 2007 p78
  17. Cette démonstration s'inspire de : R. Bédard Caractère du groupe alterné Université du Québec à Montréal 2007 p 78

Liens externes

Bibliographie

  • Daniel Perrin, Cours d'algèbre, Éditions de l'École Normale Supérieure de Jeunes Filles, 1981 (ISBN 2-85929-011-7) 
  • (en) W. R. Scott Group Theory Dover Publications (1987) p. 299 (ISBN 0486653773)
  • A. et R. Douady Algèbre et théories galoisiennes Cassini 2005 (ISBN 2842250052)
  • Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
  • M. J. Wenninger Dual Models Cambridge University Press 1983 (ISBN 0521245249)
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Groupe altern%C3%A9 ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Groupe Alterné de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Groupe alterne — Groupe alterné En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le groupe alterné de degré n, souvent noté An, est un sous groupe distingué du groupe symétrique des permutations d un ensemble fini de cardinal n. Ce sous groupe est… …   Wikipédia en Français

  • Groupe alterné — En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le groupe alterné de degré n, souvent noté An, est un sous groupe distingué du groupe symétrique des permutations d un ensemble fini à n éléments. Ce sous groupe est composé des… …   Wikipédia en Français

  • Groupe Symétrique — Cette notion est différente de celle de groupe de symétrie. En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d un ensemble E est le groupe des permutations de E, c est à dire des bijections de E sur lui même. Sommaire 1… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de permutation — Groupe symétrique Cette notion est différente de celle de groupe de symétrie. En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d un ensemble E est le groupe des permutations de E, c est à dire des bijections de E sur lui… …   Wikipédia en Français

  • Groupe des permutations — Groupe symétrique Cette notion est différente de celle de groupe de symétrie. En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d un ensemble E est le groupe des permutations de E, c est à dire des bijections de E sur lui… …   Wikipédia en Français

  • Groupe symetrique — Groupe symétrique Cette notion est différente de celle de groupe de symétrie. En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d un ensemble E est le groupe des permutations de E, c est à dire des bijections de E sur lui… …   Wikipédia en Français

  • Groupe De Type De Lie — En mathématiques, un groupe de type de Lie G(k) est un groupe (non nécessairement fini) de points rationnels d un groupe algébrique linéaire G à valeur dans le corps k. La classification des groupes simples finis montre que les groupes de types… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de type de lie — En mathématiques, un groupe de type de Lie G(k) est un groupe (non nécessairement fini) de points rationnels d un groupe algébrique linéaire G à valeur dans le corps k. La classification des groupes simples finis montre que les groupes de types… …   Wikipédia en Français

  • Groupe De Galois — Évariste Galois 1811 1832 En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d une extension de corps L sur un corps K est le groupe des automorphismes de corps de L lais …   Wikipédia en Français

  • Groupe de galois — Évariste Galois 1811 1832 En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d une extension de corps L sur un corps K est le groupe des automorphismes de corps de L lais …   Wikipédia en Français