Attracteur de Rössler
L'attracteur de Rössler

L'attracteur de Rössler est l'attracteur associé au système dynamique de Rössler, un système de 3 équations différentielles non-linéaires.

Ces équations différentielles définissent un système dynamique continu et tridimensionnel qui présente des caractéristiques chaotiques. L'ensemble des trajectoires à long terme de ce système définissent un attracteur étrange aux propriétés fractales.

Sommaire

Historique

Otto Rössler conçut son attracteur en 1976 dans un but purement théorique, mais ces équations s'avérèrent utiles dans la modélisation de l'équilibre dans les réactions chimiques. L'article original de Rössler mentionne que son système a été conçu pour fonctionner d'une façon similaire au système de Lorenz, mais également pour être plus simple à analyser, il ne présente qu'une seule spirale.

Le système de Rössler

Les équations de ce système sont:

\frac{dx}{dt} = -y - z
\frac{dy}{dt} = x + ay
\frac{dz}{dt} = b + z(x-c)

Rössler étudia l'attracteur pour a = 0,2, b = 0,2, et c = 5,7, mais les propriétés de a = 0,1, b = 0,1, et c = 14 sont aujourd'hui plus étudiées.

Propriétés

Certaines propriétés du système de Rössler sont déduites par des méthodes linéaires et des vecteurs propres, mais les caractéristiques principales de ce système requiert des méthodes non-linéaires comme les sections de Poincaré ou les diagrammes de bifurcation.

Une orbite dans l'attracteur suit une spirale proche du plan x,y autour d'un point fixe instable. S'éloignant progressivement de ce point fixe, un second point fixe provoque une élévation de cette orbite et une redescente vers le plan x,y proche du premier point fixe, réintégrant l'orbite dans la spirale.

Bien que les valeurs des différentes variables soient bornées, il est apparent que ces oscillations sont chaotiques.

L'attracteur possède une structure fractale en mille-feuilles, dont la dimension fractale a été estimée entre 2,01 et 2,02, donc très proche d'une surface plane.

Vue depuis le plan x,y

L'un des intérêts de l'attracteur de Rössler est le caractère linéaire de deux de ses équations. Poser z = 0, permet l'examen de sa projection dans le plan x,y:

\frac{dx}{dt} = -y
\frac{dy}{dt} = x + ay

Points fixes

Pour trouver les points fixes, les trois équations de Rössler sont posées égales à zéro. Le système est alors résolu et donne le résultat suivant:

x = \frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2}
y = -\left(\frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2a}\right)
z = \frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2a}

Ce qui, maintenant, peut être utilisé pour présenter les points fixes pour des valeurs données de paramètres :

\left(\frac{c+\sqrt{c^2-4ab}}{2}, \frac{-c-\sqrt{c^2-4ab}}{2a}, \frac{c+\sqrt{c^2-4ab}}{2a}\right)
\left(\frac{c-\sqrt{c^2-4ab}}{2}, \frac{-c+\sqrt{c^2-4ab}}{2a}, \frac{c-\sqrt{c^2-4ab}}{2a}\right)

Comme cité plus haut, l'un des points, instable, est situé au centre de la spirale et l'autre se situe hors de l'attracteur.

Régimes périodiques et chaotiques

Posant a = 0,1 et b = 0,1 et en faisant varier le paramètre c, le système passe successivement par divers régimes périodiques ou chaotiques:

  • c = 4 ⇒ période 1
  • c = 6 ⇒ période 2
  • c = 8,5 ⇒ période 4
  • c = 9 ⇒ chaotique
  • c = 12 ⇒ période 3
  • c = 12,6 ⇒ période 6
  • c = 13 ⇒ chaotique
  • c = 18 ⇒ chaotique

Bibliographie

  • E. N. Lorenz, « Deterministic nonperiodic flow », dans J. Atmos. Sci., vol. 20, 1963, p. 130–141 [lien DOI] 
  • O. E. Rössler, « An Equation for Continuous Chaos », dans Physics Letters, vol. 57A, no 5, 1976, p. 397–398 
  • O. E. Rössler, « An Equation for Hyperchaos », dans Physics Letters, vol. 71A, no 2,3, 1979, p. 155–157 
  • (en) Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Perseus publishing, 1994 

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Attracteur de Rössler de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Attracteur de Rossler — Attracteur de Rössler L attracteur de Rössler L attracteur de Rössler est l attracteur associé au système dynamique de Rössler, un système de 3 équations différentielles non linéaires. Ces équations différentielles définissent un système… …   Wikipédia en Français

  • Attracteur De Lorentz — Attracteur de Lorenz L attracteur de Lorenz L attracteur de Lorenz, baptisé d après son découvreur Edward Lorenz, est une structure fractale correspondant au comportement à long terme de l oscillateur de Lorenz. Cet oscillateur est un système… …   Wikipédia en Français

  • Attracteur De Lorenz — L attracteur de Lorenz L attracteur de Lorenz, baptisé d après son découvreur Edward Lorenz, est une structure fractale correspondant au comportement à long terme de l oscillateur de Lorenz. Cet oscillateur est un système dynamique tridimensionel …   Wikipédia en Français

  • Attracteur de lorenz — L attracteur de Lorenz L attracteur de Lorenz, baptisé d après son découvreur Edward Lorenz, est une structure fractale correspondant au comportement à long terme de l oscillateur de Lorenz. Cet oscillateur est un système dynamique tridimensionel …   Wikipédia en Français

  • Attracteur de Lorenz — Pour consulter un article plus général, voir : théorie du chaos. L attracteur de Lorenz En 1963, le météorologue Edward Lorenz est le premier à mettre en évidence le caractère vraisemblablement chaotique de la météorologie. Le modèle de… …   Wikipédia en Français

  • Système de Rossler — Attracteur de Rössler L attracteur de Rössler L attracteur de Rössler est l attracteur associé au système dynamique de Rössler, un système de 3 équations différentielles non linéaires. Ces équations différentielles définissent un système… …   Wikipédia en Français

  • Système de rössler — Attracteur de Rössler L attracteur de Rössler L attracteur de Rössler est l attracteur associé au système dynamique de Rössler, un système de 3 équations différentielles non linéaires. Ces équations différentielles définissent un système… …   Wikipédia en Français

  • Attracteur — Dans l étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble limite) est un ensemble ou un espace vers lequel un système évolue de façon irréversible en l absence de perturbations. Constituants de base de la théorie du chaos, cinq types d… …   Wikipédia en Français

  • Liste de fractales par dimension de Hausdorff — Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante. En mathématiques, une fractale est un ensemble dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique[1]. Sommaire 1… …   Wikipédia en Français

  • Otto Rössler — Otto E. Rössler, né le 20 mai 1940 à Berlin, est un biochimiste allemand et scientifique pluridisciplinaire d exception notamment dans le chaos. Sommaire 1 Biographie 2 Références 3 Bibliography …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”