Attracteur De Hénon

Attracteur de Hénon

attracteur de Hénon pour a = 1,4 etb = 0,3

L' attracteur de Hénon est un système dynamique à temps discret. C'est l'un des systèmes dynamiques ayant un comportement chaotique les plus étudiés.

L'attracteur de Hénon prend tout point du plan (xy) et lui associe le nouveau point :

x_{n+1} = y_n+1-a x_n^2\,
y_{n+1} = b x_n\,.

Il dépend de deux paramètres, a et b, qui ont pour valeurs canoniques : a = 1.4 et b = 0.3. Pour ces valeurs, l'attracteur de Hénon est chaotique. Pour d'autres valeurs de a et b, il peut être chaotique, intermittent ou converger vers une orbite périodique. Un aperçu du comportement de l'attracteur peut être donné par son diagramme orbital.

L'attracteur fut introduit par Michel Hénon comme une simplification de la section de Poincaré de l'attracteur de Lorenz. Dans le cas canonique, le point de départ approchera soit un ensemble de points, connu sous le nom d' attracteur étrange de Hénon, soit l'infini. L'attracteur de Hénon est fractal, continu dans une direction, et forme un ensemble de Cantor dans l'autre. Des estimations numériques donnent une dimension de corrélation d'environ 1.42 ± 0.02[1] et une dimension de Hausdorff de 1.261 ± 0.003[2] pour l'attracteur canonique.

En tant que système dynamique, l'attracteur canonique de Hénon est d'un intérêt particulier car, contrairement à la carte logistique, ses orbites n'ont pas de description simple.

Références

  1. P. Grassberger and I. Procaccia, « Measuring the strangeness of strange attractors », dans Physica, vol. 9D, 1983, p. 189-208 [texte intégral] 
  2. D.A. Russel, J.D. Hanson, and E. Ott, « Dimension of strange attractors », dans Physical Review Letters, vol. 45, 1980, p. 1175 [texte intégral] 
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